引言
根据著名的素数定理：
可以相应地推导出第N个素数的渐近公式，如下所示：
前一个公式是维基百科上的，后一个公式是《具体数学：计算机科学基础(英文版第2版)》上的，出现在第593页习题9.21答案中。这两个公式本质上是一样的。
测试程序
让我们写个 C# 程序来计算这个渐近公式的相对误差吧：
1 using System; 2 3 static class PrimeNth 4 { 5 static decimal[] primes = 6 { 7 2, 29, 541, 7919, 104729, 1299709, 15485863, 179424673, 2038074743, 8 22801763489, 252097800623, 2760727302517, 29996224275833, 9 323780508946331, 3475385758524527, 37124508045065437, 10 394906913903735329, 4185296581467695669m, 44211790234832169331m, 11 465675465116607065549m, 4892055594575155744537m 12 }; 13 14 static void Main() 15 { 16 Console.WriteLine("-m --------------(10^m)-th-prime -rel-error"); 17 for (var m = 1; m < primes.Length; m++) Run(m); 18 } 19 20 static void Run(int m) 21 { 22 var p = primes[m]; 23 var r = Math.Abs(Pn((decimal)Math.Pow(10, m)) - p) / p; 24 Console.WriteLine("{0,2} {1,29:N0} {2,10:P6}", m, p, r); 25 } 26 27 static decimal Pn(decimal n) 28 { 29 var lnn = Math.Log((double)n); 30 var lnlnn = Math.Log(lnn); 31 var pnn = lnn + lnlnn - 1 + (lnlnn - 2) / lnn 32 - (lnlnn * lnlnn - 6 * lnlnn + 11) / 2 / lnn / lnn; 33 return n * (decimal)pnn; 34 } 35 }
这个程序第5行到第12行的数组存放的是第100、101、...、1020个素数，数据来源于参考资料[1]。
编译和运行
在 Windows 7 操作系统 .NET Framework 4.5 环境下编译和运行：
D:\work> csc PrimeNth.cs Microsoft(R) Visual C# 编译器版本 4.0.30319.17929 用于 Microsoft(R) .NET Framework 4.5 版权所有 (C) Microsoft Corporation。保留所有权利。 D:\work> PrimeNth -m --------------(10^m)-th-prime -rel-error 1 29 65.544667% 2 541 8.846891% 3 7,919 1.531065% 4 104,729 0.321614% 5 1,299,709 0.083770% 6 15,485,863 0.031450% 7 179,424,673 0.000099% 8 2,038,074,743 0.000190% 9 22,801,763,489 0.000846% 10 252,097,800,623 0.000585% 11 2,760,727,302,517 0.000464% 12 29,996,224,275,833 0.000312% 13 323,780,508,946,331 0.000211% 14 3,475,385,758,524,527 0.000145% 15 37,124,508,045,065,437 0.000101% 16 394,906,913,903,735,329 0.000071% 17 4,185,296,581,467,695,669 0.000051% 18 44,211,790,234,832,169,331 0.000037% 19 465,675,465,116,607,065,549 0.000027% 20 4,892,055,594,575,155,744,537 0.000020%
