再谈推箱子关卡最佳答案的步数

前言

在上一篇随笔中，我们定义以下函数：

• P(n, m, k) 表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的最多 k 个箱子的关卡的最佳答案的步数。
• Q(n, m, k) 表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的刚好 k 个箱子的关卡的最佳答案的步数。
• R(n, m) = P(n, m, n * m)，表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的关卡的最佳答案的步数。
• S(n, m) = Q(n, m, 1)，表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的只有一个箱子的关卡的最佳答案的步数。

并且对 S(n, m) 做了一些初步的研究。显然，R(n, m) ≥ S(n, m)，也更值得研究。

R(n, m) 的初步研究

如下图：

 

  

   

• R(1, 2) = 0
• R(2, 2) = 0
• R(1, 3) = 1 : D
• R(2, 3) = 5 : ruulD
• R(3, 3) = 10 : drruulDrdL
• R(1, 4) = 2 : DD
• R(2, 4) = 7 : UUddlUU
• R(3, 4) ≥ 21 : rrddlldRuruullDDrUruL
• R(4, 4) ≥ 25 : luUrurrdddLLrruLruulDDrdL

上述结论还有很大的改进余地。

RB猜想

在上一篇随笔中定义了 B(n, m) 函数：

• B(1, m) = m - 2,      when m > 0
• B(n, m) = B(m, n),   when m > 0, n > m
• B(n, m) = B(n - 1, m - 1) + B(n - 1, m),  when m > 1, n > 1, n ≤ m

并提出SB猜想：S(n, m) ≥ B(n, m)。

现在我们提出RB猜想：R(n, m) ≥ B(n, m)。

由于R(n, m) ≥ S(n, m)，所以如果SB猜想成立的话，RB猜想也就一定成立。

由于B(n, m)增长得非常快，所以SB猜想未必成立。虽然目前还没有找到SB猜想的反例。

但是RB猜想是非常有可能成立的。

R5定理

根据“解法步数随关卡大小成指数增长的关卡”贴子第34楼和36楼jinyou(金优)先生的说法，我们有：

  

• R(5, 5) ≥ 48 : rDrddlLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLUruL
• R(5, 7) ≥ 170 : rDDDLUdrrddlLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUlldRdrUrruulDuuuullDDRUldDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuurrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLUruL
• R(5, 9) ≥ 494 : rDDDLUdrDDLUdrrddlLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUlldRdrUrruulDuuuullDDRUldDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuurrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUlldRdrUrruulDuuuuuullDDRUldDDRUldDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuurrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuuuurrDDLUdrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLLUlldRdrUrruulDuuuullDDRUldDDRUdddlUluRurrrddLLUdrruulDlddlUluRuuurrDDLUdrrddLLUlldRdrUrruulDuullDDRUdddlUluRurrrddLUruL

此外，我们还有 R(5, 2 * m + 1) ≥ R(5, 2 * m - 1) * 2.618。

由于 R(5, 2 * 2 + 1) ≥ 48 ≥ 2.618^{2 + 2}。

所以我们有以下R5定理：R(5, 2 * m + 1) ≥ 2.618^{m + 2}。