推箱子关卡最佳答案的步数

S(n, m) 的定义

对于推箱子，我们定义函数 S(n, m) 表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的只有一个箱子的关卡的最佳答案的步数。这里最复杂的意思是使最佳答案的步数最大。

S(x, 2) 的情况

 

1. S(1, 2) = 0
2. S(2, 2) = 0

这应该是毫无疑问的吧。

S(x, 3) 的情况

  

1. S(1, 3) = 1 : D
2. S(2, 3) = 5 : ruulD
3. S(3, 3) = 10 : drruulDrdL

这也很容易证明。

S(x, 4) 的情况

   

1. S(1, 4) = 2 : DD
2. S(2, 4) = 7 : uruulDD
3. S(3, 4) ≥ 13 : drruulDrdLulD
4. S(4, 4) ≥ 19 : uuurrDrddlUruLLulDD

稍微有点复杂了。

S(x, 5) 的情况

    

1. S(1, 5) = 3 : DDD
2. S(2, 5) = 10 : luuruulDDD
3. S(3, 5) ≥ 15 : ulluuurDDrdLulD
4. S(4, 5) ≥ 35 : rddddrruuuLrdddlluuluurDDDuurrdddlL
5. S(5, 5) ≥ 41 : rddddrrruuuLLrrdddllluuluurDDDuurrrdddllL

这已经相当复杂了。

S(x, 6) 的情况

     

1. S(1, 6) = 4 : DDDD
2. S(2, 6) = 12 : luuuruulDDDD
3. S(3, 6) ≥ 25 : lluuuuurDlddddrruuuLulDDD
4. S(4, 6) ≥ 44 : rddddrruuuLrdddlluuluurDDDuurrddddllluRRdrUU
5. S(5, 6) ≥ 58 : lddddllluuruRlldddrrruuruulDDDuullldddrrdrruLLLrruuulllddD
6. S(6, 6) ≥ 77 : llulluuurrurrddlDuruullllddddrrdrruLLLrruuruulllldddlddrUUUddrrruuruullllldRR

这就更加复杂了，充满不确定性。

B(n, m) 的定义

我们定义一个函数 B(n, m) 如下：

• B(1, m) = m - 2,      when m > 0
• B(n, m) = B(m, n),   when m > 0, n > m
• B(n, m) = B(n - 1, m - 1) + B(n - 1, m),  when m > 1, n > 1, n ≤ m

于是我们有以下的表格：

B(n, m)

n\m	1	2	3	4	5	6
1	-1	0	1	2	3	4
2		-1	1	3	5	7
3			0	4	8	12
4				4	12	20
5					16	32
6						48

S(n, m)

n\m	1	2	3	4	5	6
1	X	0	1	2	3	4
2		0	5	7	10	12
3			10	≥13	≥15	≥25
4				≥19	≥35	≥44
5					≥41	≥58
6						≥77

SB猜想

观察上一小节的两个表格，我们有一个猜想：S(n, m) ≥ B(n, m)，估且称之为SB猜想。

计算 B(n, m) 的 C# 程序

以下就是计算 B(n,m) 的 C# 程序 ComputeB.cs：

using System;

sealed class ComputeB
{
  static void Main(string[] args)
  {
    var N = (args.Length > 0) ? int.Parse(args[0]) : 6;
    var M = (args.Length > 1) ? int.Parse(args[1]) : N;
    Console.WriteLine("B({0}, {1}) = {2:N0}", N, M, B(N, M));
  }
  
  static long B(int N, int M)
  {
    if (N > M) Swap(ref N, ref M);
    var b = new long[N + 1, M + 1];
    for (var m = 1; m <= M; m++) b[1, m] = m - 2;
    for (var n = 2; n <= N; n++)
      for (var m = n; m <= M; m++)
        b[n, m] = b[n - 1, m - 1] + b[n - 1, m];
    return b[N, M];
  }
  
  static void Swap<T>(ref T x, ref T y)
  {
    var t = x;
    x = y;
    y = t;
  }
}

运行结果如下所示：

E:\work> ComputeB 4 5
B(4, 5) = 12
E:\work> ComputeB
B(6, 6) = 48
E:\work> ComputeB 23
B(23, 23) = 41,943,040

可见函数 B(n, m) 增长得非常快。

关于一个推箱子问题的悬赏

推箱子论坛的“关于一个推箱子问题的悬赏”中说：

在经典的推箱子游戏规则下，满足下面三个条件的关卡至今仍没有找到：
(1)大小在50x50以内，包括作为边界的墙体在内
(2)恰有1个箱子（当然也恰有1个目标）
(3)最佳答案大于或等于100000（十万）步，强调一下是最佳答案，即步数最少的答案。
问题：满足上面三个条件的推箱子关卡存在吗？

3. 解答者把自己研究得到的解答直接通过电子邮件发送至 yangchao0710@gmail.com 
若给出肯定的回答，只需提供xsb格式的关卡文件即可。
若给出否定的回答，则需要给出严格的证明。

如果上述SB猜想成立，则答案是肯定的。如果有人能够证明SB猜想，很可能无法提供xsb格式的关卡文件，从而无法领取悬赏。:(

进一步的话题

其实，B(n, m) 函数增长太快了一点，所以SB猜想不是很靠谱。更好的做法，是寻找一个增长不那么快的 C(n, m) 函数，然后提出一个更靠谱的SC猜想：S(n, m) ≥ C(n, m)。

S(n, m) 的值是客观存在的，但是我们只知道很少的几个 S(n, m) 的值，对于绝大多数 (n, m)，我们只能给出 S(n, m) 的最小值，并且可以不断改进这个最小值。

如果我们定义一个函数 T(n) = S(n, n)，那么，如果有一个富翁给出一个悬赏：

在 2099-12-31 之前求出 T(123456789) 的值并证明该值的正确性的个人和单位，奖励十亿元人民币。

那么，这笔奖金非常可能发不出去。

P(n, m, k)、Q(n, m, k) 和 R(n, m) 的定义

进一步，我们定义以下函数：

• P(n, m, k) 表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的最多 k 个箱子的关卡的最佳答案的步数。
• Q(n, m, k) 表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的刚好 k 个箱子的关卡的最佳答案的步数。
• R(n, m) = P(n, m, n * m)，表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的关卡的最佳答案的步数。
• S(n, m) = Q(n, m, 1)，表示大小为 (n + 2) x (m + 2) 的可解的最复杂的只有一个箱子的关卡的最佳答案的步数。

显然，R(n, m) ≥ S(n, m)，也更值得研究。

参考资料

1. 关于一个推箱子问题的悬赏
2. HTML5 Sokoban
3. XSB和LURD格式简介
4. Ben's Home | Skyiv Studio