【算法】将正整数表示为平方数之和

问题来源

Timus Online Judge 网站上有这么一道题目：1073. Square Country。这道题目的输入是一个不大于 60,000 的正整数，要求计算出该正整数最少能够使用多少个正整数的平方和来表示。这道题目的时间限制是 1 秒。

问题解答

《数论导引(第5版)》([英]G.H.Hardy、E.M.Wright 著，人民邮电出版社，2008年10月第1版)第 320 页有以下定理：

定理 369(Lagrange 定理): 每个正整数都是四个平方数之和

在这个定理中，平方数是指整数(包括零)的平方。所以，我们有以下 C 语言程序(1073.c):

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

// http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1073 #include <stdio.h> #include <math.h>   int compute(int n) {   int i, j, k, m = 4;   int i0 = n / 4, i2 = n, j2, k2;   for (i = sqrt(n); i2 > i0; i--)     if ((j2 = n - (i2 = i * i)) == 0) return 1;     else for (j = sqrt(j2); j > 0; j--)       if ((k2 = n - i2 - j * j) == 0) return 2;       else if (k = sqrt(k2), k * k == k2 && m > 3) m = 3;   return m; }   int main(void) {   int n;   scanf("%d", &n);   printf("%d", compute(n));   return 0; }

上述程序中：

• 第 7 行设置 m 的初值为 4，代表一个正整数最多只需要四个平方数就可以表示了。
• 第 9 行开始的主循环决定第一个平方数，如果 n 刚好是平方数(第 10 行)，就直接返回 1。
• 第 11 行开始的内循环决定第二个平方数，如果这两个数加起来刚好等于 n (第 12 行)，就直接返回 2。
• 第 13 行检查 n 是否可以表示为三个平方数的和，如果是的话，就更新 m 的值为 3 。注意，此时不能直接返回 3，因为可能在后面的循环中发现 n 可以用两个平方数表示。
• 第 14 行返回 m 值(只可能是 3 或者 4)作为最后的答案。

上述程序在 Timus Online Judge 网站的运行时间是 0.015 秒。

更好的算法

上述题目有一个进一步的版本：1593. Square Country. Version 2，输入改为不大于 10¹⁵ 的正整数，时间限制还是 1 秒。上一节的程序做以下改动：

• 第 5 行的第 2 个 int 改为 long long
• 第 8 和 19 行的 int 改为 long long
• 第 20 行的 %d 改为 %lld

就可以适用于这道题目，但是运行结果是“Time limit exceeded”。此时，需要更好的算法。我们有以下 C 语言程序(1593.c)：

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

// http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1593 #include <stdio.h> #include <math.h>   int compute(long long n) {   int i, k;   long long i2;   while ((n & 3) == 0) n >>= 2;   if ((n & 7) == 7) return 4;   for (i = 8, i2 = 9; i2 <= n; i2 += i += 8)     while (n % i2 == 0) n /= i2;   if (n == 1) return 1;   if ((n & 1) == 0) n >>= 1;   if ((n & 3) == 3) return 3;   for (k = sqrt(n), i = 3; i <= k && n % i; i += 4) ;   return (i > k) ? 2 : 3; }   int main(void) {   long long n;   scanf("%lld", &n);   printf("%d", compute(n));   return 0; }

在上述程序中：

• 第 9 行消去 n 的所有值为 4 因数。
• 第 10 行检测 n 是否为 8m + 7 的形式，如是，直接返回 4 (请参见下节)。
• 第 11、12 行消去 n 的所有素因子的偶次幂(素因子 2 的偶次幂已经在第 9 行消去了)。
• 第 11 行中 i2 依次为：3²、5²、7²、...、t²，这是因为 (t + 1)² - (t - 1)² = 4t，每次循环 t 增加 2，所以 i 增加 4 * 2 = 8。
• 第 13 行，如果 n 等于 1，说明输入是个完全平方数，直接返回 1。
• 此时，n 的标准分解式中所有的素因子都是一次幂了。
• 第 14 行消去 n 的素因子 2 (如果有的话)。
• 第 16 行的循环中 i 从 3 开始，每次递增 4，以检查 n 是否有 4m + 3 形式的因子。
• 第 15 行和第 17 行根据定理 366 决定答案是两个还是三个平方之和。

这个程序在 Timus Online Judge 网站的运行时间是 0.828 秒。这道题目的最佳运行时间是 0.031 秒，不知道使用什么算法可以这么快。

上述算法的原理

《数论导引(第5版)》第 329 页说：

n ≠ 4^a(8m + 7) 是 n 可以用三个平方数表示的一个充分必要条件

第 318 页有以下定理：

定理 366: 一个数 n 是两个平方之和，当且仅当在 n 的标准分解式中，它的所有形如 4m + 3 的素因子都有偶次幂

我们还有以下定理：

形如 4m + 3 的整数有形如 4m + 3 的素因子

列出平方数

前面的 1593.c 程序只能给出答案是几个平方数之和，而对这些平方数是什么一无所知。而 1073.c 程序倒是中规中矩地想要求解这些平方数是什么，但是从 Lagrange 定理得知最多只要四个平方数就够了，所以该程序只求解到三个平方数的情况，其余情况下答案肯定是 4 了。因此，我们将 1073.c 稍做修改，得到 1073b.c 用于列出这些平方数，如下所示：

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h>   static int a[5];   int compute(int n) {   int i, j, k, l, m = 5;   int i0 = n / 4, i2 = n, j2, k2, l2;   for (i = sqrt(n); i2 > i0; i--)     if ((j2 = n - (i2 = i * i)) == 0) return a[0] = i, 1;     else for (j = sqrt(j2); j > 0; j--)       if ((k2 = n - i2 - (j2 = j * j)) == 0) return a[0] = i, a[1] = j, 2;       else for (k = sqrt(k2); k > 0; k--)         if ((l2 = n - i2 - j2 - (k2 = k * k)) == 0 && m > 3)           a[0] = i, a[1] =  j, a[2] = k, m = 3;         else if (l = sqrt(l2), l * l == l2 && m > 4)           a[0] = i, a[1] =  j, a[2] = k, a[3] = l, m = 4;   return m; }   int main(int args, char* argv[]) {   int i, n, start = 1, count = 16, k;   if (args > 1) start = atoi(argv[1]);   if (args > 2) count = atoi(argv[2]);   for (n = start; n < start + count; n++)   {     k = compute(n);     printf("%d:%6d:", k, n);     for (i = 0; i < k; i++) printf(" %d", a[i]);     puts(k > 4 ? " Error!" : "");   }   return 0; }

上述程序中：

• 第 5 行的全局静态数组用于记录所求的平方数，数组大小为 5， 而不是 4，是为了防止程序有 bug 时造成数组下标越界(第 32 行)。
• 第 9 行将 m 的初值从 4 改为 5，用以检测程序是否有 bug。
• 第 9、10 行增加了变量 l 和 l2 用于计算第四个平方数，并相应增加一层循环(第 15 行)。
• 第 12、14、17 和 19 行相应记录这些平方数于数组 a 中。
• 第 33 行在输出时检查程序是否有 bug。如果 k > 4 程序肯定有问题，违反了 Lagrange 定理。当然，k <= 4 并不意味着程序就没有问题了。:)

这个程序的运行结果如下所示：

E:\work> 1073b
1:     1: 1
2:     2: 1 1
3:     3: 1 1 1
1:     4: 2
2:     5: 2 1
3:     6: 2 1 1
4:     7: 2 1 1 1
2:     8: 2 2
1:     9: 3
2:    10: 3 1
3:    11: 3 1 1
3:    12: 2 2 2
2:    13: 3 2
3:    14: 3 2 1
4:    15: 3 2 1 1
1:    16: 4

E:\work> 1073b 100001 9
3:100001: 316 12 1
3:100002: 316 11 5
3:100003: 315 27 7
3:100004: 316 12 2
3:100005: 316 10 7
3:100006: 311 57 6
4:100007: 315 27 7 2
3:100008: 314 34 16
2:100009: 315 28

E:\work> 1073b 987654
3:987654: 991 58 47
4:987655: 993 39 9 2
2:987656: 734 670
3:987657: 992 53 28
3:987658: 993 40 3
3:987659: 991 67 33
3:987660: 986 110 58
3:987661: 990 75 44
3:987662: 993 38 13
4:987663: 993 38 13 1
2:987664: 992 60
3:987665: 993 40 4
3:987666: 992 59 11
3:987667: 993 33 23
3:987668: 992 60 2
2:987669: 990 87

E:\work>

如果不知道 Lagrange 定理，也就是说，假设我们不知道要多少个平方数之和才够的话，这道题目看来只好用动态规划算法来求解了。

使用递归求解

键盘农夫园友在 47 楼的评论中介绍了他的随笔“华丽的递归——将正整数表示为平方数之和”。我将该随笔中的 C 语言程序改写如下(1073c.c):

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

// http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1073 #include <stdio.h>    typedef int bool;    const bool true = 1; const bool false = 0;    bool isSquare(int n, int v, int k) {   return (n < v) ? false : (n == v) ? true : isSquare(n, v + k + 2, k + 2); }    bool isSquareSum(int n, int m, int v, int k) {   if (n < v) return false;   if (m == 1) return isSquare(n, v, k);   return isSquareSum(n - v, m - 1, v, k) ? true : isSquareSum(n, m, v + k + 2, k + 2); }    int compute(int n, int m) {   return isSquareSum(n, m, 1, 1) ? m : compute(n, m + 1); }    int main(void) {   int n;   scanf("%d", &n);   printf("%d", compute(n, 1));   return 0; }

这个程序本质上和键盘农夫园友的程序是没有区别的。分析如下：

• 第 9 到 12 行的 isSquare 函数判断 n 是否是不小于 v 的完全平方数。其中 k 是用于计算平方数的辅助变量。
• 第 14 到 19 行的 isSquareSum 函数判断 n 是否是 m 个不小于 v 的平方数之和。其中 k 是用于计算平方数的辅助变量。
• 第 21 到 24 行的 compute 函数计算正整数 n 最少可以表示为多少个平方数之和。

上述程序在 Timus Online Judge 网站的运行时间是 0.031 秒，而第一小节中的 1073.c 的运行时间是 0.015 秒。

如果将上述程序作如下改动：

• 第 9 行的前两个 int 改为 long long
• 第 14 行的第 1 个和第 3 个 int 改为 long long
• 第 21 行的第 2 个 int 改为 long long
• 第 28 行的 int 改为 long long
• 第 29 行的 %d 改为 %lld

就可以适用于“1593. Square Country. Version 2”，但是运行结果是“Crash (stack overflow)”。

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更多的 ACM 题的解法请参见：Timus 目录。