小绿皮

刷一刷题，写一写中文翻译，随缘给题目有意思的程度打个分，有意思的写写题解。
记录一下做了哪些。争取每天能做五道。

Brain Teasers

2023/08/12

疯狂的海盗 ⭐⭐

经典的海盗分金问题，5 个海盗分 100 金币。网上资料过多，比较无趣。

老虎和绵羊 ⭐

一个老虎吃掉羊就会变成羊。
现在有 100 个老虎和 1 只羊，请问羊是否会被吃掉。

过河 ⭐⭐⭐

四个人希望通过桥过河，但桥上最多同时走两个人。过河需要火把，这些人总共只有一个火把。
四个人过河所需的时间分别为 10, 5, 2, 1。两个人同时过河，速度取决于较慢的那一个。
请问最少需要多长时间过河。

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最容易想到的策略是用走的最快的来回运火把，送每一个人过河。
事实上这个策略并不优秀。在本题中，最优解是让 10 和 5 同时过河。
例如可以首先让 1 2 过河，接着 1 带火把回来。然后 10 5 过河，让 2 带火把回来。最后一次 1 2 同时过河即可。
通过这种方法，只用到了 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 的时间。但如果让 1 来回运送火把，需要 10 + 1 + 5 + 1 + 2 = 19 的时间。

todo: 对于 n 个人，给定速度的情况，有没有通解？

生日问题 ⭐⭐

A 的生日在 Mar 4, Mar 5, Mar 8, Jun 4, Jun 7, Sep 1, Sep 5, Dec 1, Dec 2, Dec 8 之中一天。
A 告诉 B 生日在几月，告诉 C 生日在几号。
之后，B 说：“我不知道 A 的生日，C 也不知道。”
之后，C 说：“我刚才不知道 A 的生日，但我现在知道了。”
之后，B 说：“我现在也知道了。”
请问 A 的生日是哪天？

纸牌游戏 ⭐⭐⭐

52 张扑克牌。每次摸两张，如果都是黑色，则你得 2 分；如果都是红色，则对手得 2 分。如果一黑一红，则没人不得分。
摸到牌堆空为止，如果最后你得分数比对手多，则对手给你 100 块。请问你愿意花多少钱参与这个游戏？

2023/08/13

烧绳子 ⭐⭐⭐

有两个质地不均的绳子，但你知道它们中的每个都需要一小时燃尽。
请你给出一种办法计数 45 分钟。

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计数 30 分钟的方法：同时对一条绳子的两端点火。
在此基础上可以想怎么用另一条绳子计数 15 分钟。
不难想到如果你能够找到一条 30 分钟的绳子就好了，因为你可以在 30 分钟的绳子上点两端。
事实上只需要在第一条绳子上同时点两端，在第二条绳子上只点一端，在第一条绳子燃尽的时候，第二条绳子自然剩下 30 分钟。于是此时把第二条绳子的另一端也点燃，第二条绳子燃尽时，恰好是 45 分钟。

有缺陷的球 ⭐⭐⭐

12 个球，其中恰好有一个可能更轻，也可能更重。
请你用一个天平在 3 次操作中找出这个球。

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第一次平均分成 3 组，每组 4 个。
将前两组上天平，如果等则看最后一组：用 2 次操作鉴别 4 个球显然是可行的。
如果不等，不妨设第一组大于第二组。称左侧为重组，右侧为轻组。
将重12和轻1放在天平左侧，重34和轻2放在天平右侧。
若平衡，则知轻34中有一个球比普通的球轻。用最后一次操作可以鉴别。
否则假设左侧更重，则知要么重12有一个球比普通球重，要么轻2比普通球轻。最后一次操作比较重12即可。

一般的问题的构造貌似是比较困难的。知乎上有相关的讨论。
结论是若不关心特殊球的轻重，k 次称重最多可以鉴别 \(\frac{3^k - 1}{2}\) 个球。
若关心，k 次称重最多可以鉴别 \(\frac{3^k - 3}{2}\) 个球。

末尾的 0 ⭐

100! 中末尾有多少个 0？

赛马 ⭐⭐⭐

有 25 匹马，一次最多赛 5 匹，问最少多少次能够找出最快的 3 匹马？

无限序列 ⭐⭐

如果 \(x^{x^{x^{\dots}}} = 2\)，那么 \(x\) 等于多少？

装箱 ⭐⭐⭐⭐

你能将 53 个 \(1 \times 1 \times 4\) 的立方体放进 \(6 \times 6 \times 6\) 的箱子里吗？

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简易版本：假设有一个 \(8 \times 8\) 的棋盘，去掉对角的两个格子。能否用 \(1 \times 2\) 的方块填满这个棋盘剩余的 62 个格子？
答案是不能。因为可以考虑进行棋盘黑白染色，出现 32 个黑和 30 个白（或者相反）。但一个 \(1 \times 2\) 的方块一定对应一黑一白。

很有趣的拓展到本题的方法：将 \(6 \times 6 \times 6\) 的立方体视作 \(3 \times 3 \times 3\) 个 \(2 \times 2 \times 2\) 的立方体。
对这些立方体进行黑白染色，显然会导致 14 个黑和 13 个白（或者相反）。考虑一个 \(1 \times 1 \times 4\) 的立方体，一定在黑白块中大小均为 2。
因此一定有至少 \(2 \times 2 \times 2\) 的空间被浪费，这导致不可能放进。

日历色子 ⭐⭐⭐

现在有两个色子，请你在每个色子的 6 个面写上数字，使得你可以用这两个色子组合出所有日期：
例如一个色子上面写着 0，另一个色子上面写着 1，那么你就可以组合出 10 和 01 两个日期。

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把 6 倒过来是 9

通往 offer 的门 ⭐⭐⭐

有两个门，一个通往工作的 offer，另一个通往离开。每个门有一个守卫，其中一个只说真话，一个只说假话。
你只能问一个问题，那么你应该问什么。

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“如果我问另一个守卫它的门通向 offer 吗，他会回答什么？”
如果面前的是真话守卫，那么另一个是假话守卫。所以现在得到的一定是假话。
如果面前的是假话守卫，那么另一个是真话守卫。所以现在得到的一定是假话。
因此通过这样的方法得到的一定是假话，即可以做出正确的判断。

2023/08/14

消息传递 ⭐⭐

A, B 两个人通过将信件放进箱子里，再让邮递员运输箱子来传递信息。
但邮递员的运输并不安全，如果箱子不加锁，其中的所有东西都会丢失。
现在 A, B 两个人都有很多锁，但每把锁只有一把钥匙在自己的手里，那么他们应当如何在保证信件不丢失的前提下传递信息？

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箱子可以加不止一把锁。

最后一个球 ⭐⭐⭐

有 20 个蓝球和 14 个红球。你每次随机取出两个，如果颜色相同，就放一个蓝的回去；如果颜色不同，就放一个红的回去。
持续这个过程最后一个球是什么颜色？
如果改成 20 蓝球和 13 红球呢？

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考虑每步之后红球和蓝球数目的变化

电灯开关 ⭐⭐⭐

房间里有一个灯泡，房间外有四个开关，其中恰好有一个控制了灯泡。
你不知道哪个开关控制了灯泡，请问你最少进房间几次能够找到这个开关？

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只需要一次。因为可以通过摸灯泡是否是热的，看灯泡是否是亮的，来同时获得 2 个 bit 的信息量。

薪资问题 ⭐⭐⭐

八个人希望得到他们的平均薪资，但不希望透露自己的薪资。有什么策略？

硬币堆 ⭐⭐⭐⭐

有 1000 个硬币，其中 20 个正面朝上。
你不能看硬币的正反，但可以给其中一些硬币翻面，并分为两堆。请你保证两堆中正面朝上硬币的个数相等。

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首先将硬币分为 20, 980 两堆，接着给第一堆的所有硬币翻面。现在有两堆中正面朝上硬币数相同。

错误标记的袋子 ⭐⭐

有三袋水果，其中一袋只有苹果，一袋只有橘子，最后一袋都有。
每个袋子上有一个标记，表示他们是苹果、橘子还是混合。但这三个袋子的标记都是错误的。
请你从袋子中取出最少的水果来恢复标记。

智者 ⭐⭐⭐

一个苏丹抓了 50 个智者。苏丹有一个初始反向放置的杯子，每分钟他会随机叫一个智者，智者可以选择反转杯子或者什么都不做。
当某个智者下断言，所有的智者都被苏丹叫到过：如果断言为真，那么所有人被释放；如果断言为假，所有人都被杀。
智者们在刚开始有且仅有一次机会交流策略，请你给出一个策略。

钟表碎片 ⭐⭐

有一个钟表掉下来摔碎成三块，你发现每一块的数字（1~12）之和相同。请问三个碎片上的数字分别是什么？

缺少的整数 ⭐⭐⭐

现在有 100 个 1~98 之间的互不相同的整数，有什么好的方法找出缺少的两个？

假币I ⭐⭐

有 10 个袋子，每个袋子里有 100 枚相同的硬币。其中 9 个袋子的每个硬币都是 10g。但有一个袋子里装的全是假币，可能全是 9g，也可能全是 11g。
现在请你仅用一次电子秤，测出哪个袋子里的硬币是假币。

玻璃球 ⭐⭐

你有两个玻璃球。现在有一个 100 层高的楼，请你用这两个玻璃球在最少的次数内测出，在最高多少层楼摔下，玻璃球不会碎。

匹配的袜子 ⭐

有 2 只红色袜子，20 只黄色袜子，31 只蓝色袜子。请问你最少拿多少只袜子，才能保证有其中两只是相同颜色的。

握手 ⭐

有 26 个人。每个人和一些人握手。请问你是否能够判定，至少有两个人和相同数量的人握手？

我们之前认识吗？ ⭐⭐⭐

请说明：如果有 6 个人，那么要么至少三个人认识，要么至少三个人是陌生人。

正方形上的蚂蚁 ⭐⭐⭐⭐

有一个边长为 1 的正方形上有 51 只蚂蚁。现在你放一个半径为 1/7 的玻璃杯，请问你是否一定能盖住至少三只蚂蚁？

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分成 \(5 \times 5\) 个大小为 \(0.2 \times 0.2\) 的格子，至少有一个格子有 \(3\) 只蚂蚁。注意到玻璃杯能够覆盖一个格子。

假币II ⭐⭐⭐

有 5 个袋子，每个袋子里有 100 枚相同的硬币。可能全是 9g，可能全是 10g，也可能全是 11g。
最少用多少次电子秤能测出每个袋子的硬币类型？

2023/08/15

犯人问题 ⭐⭐⭐

有 100 个犯人。他们被随机戴上红帽子蓝帽子，每个人不能看到自己的帽子。他们被以随机的顺序叫出，如果被叫出的人说出自己戴的什么帽子，就释放。如果说错就处决。
请问给出最优策略，使得最多的犯人被释放？
如果有红帽子蓝帽子绿帽子呢？

被 9 整除 ⭐⭐

任给一个数，请你给出一个策略判断这个数是否被 9 整除。

变色龙 ⭐⭐⭐⭐

一个岛上有 13 红变色龙，15 绿变色龙，17 蓝变色龙。如果两个不同颜色相遇，他们两个就会变成第三种颜色。
是否有可能所有变色龙变成同一种颜色？解释原因。

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解法 1：注意到若 (a + 1, b + 1, c + 1) 有解等价于 (a, b, c) 有解。
对于 (0, 2, 4)，只能变成 (2, 1, 3)，也就是等价于 (1, 0, 2)。于是不可能。

解法2：分析三个数字 mod 3 的余数。-1, -1, +2 在 mod 3 意义下均为 -1，因此三个数 mod 3 的结果仍然是 0, 1, 2。
因此不可能有解。

2023/08/16

分硬币问题 ⭐⭐

有 1000 个硬币，初始只有一堆。每次选择一堆，设大小为 n，将其分成两堆，大小分别为 a 和 n - a，并给计数器加上 \(a \times (n - a)\)。
直到每堆硬币都只有一个为止。最后计数器的结果是多少？证明结果总为定值。

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点对

巧克力板 ⭐⭐

有一块 \(6 \times 8\) 的巧克力板。每次你将其掰成两半，例如将 \(6 \times 8\) 掰成 \(6 \times 3\) 和 \(6 \times 5\)。请问多少次能掰成 48 小块？

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树

跑道 ⭐⭐⭐⭐

有一个单向圆形跑道，其中分布着 n 个汽油桶。你的汽车如果加所有油，恰好能跑完一整圈。
现在你自选起点，证明你总是可以跑完一整圈。

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进行这样的迭代：首先取一个点，接着覆盖它向后油量的长度，如果有点就累计并继续覆盖，直到没有点。接着直接选择下一个点，重复上面的过程。
最终有两种情况，如果全部点被覆盖完了，那么显然我们已经找到了解。如果不能进行新的覆盖，那么我们知道总覆盖的长度达到了 1，这导致了矛盾。因此全部点一定被覆盖完了。

题解1：归纳法。首先证明 2 个点总能成立。接着对于 n 个点的情况，一定至少有一个点能够到达其后的一个点，直接将这两个点进行合并，即只剩下了 n - 1 个点。

题解2：假设有一个有充足汽油的车。随机选取一个点作为起点，中途记录油量的最低点，并选取最低点作为起始位置。

无理数 ⭐⭐

证明根号 2 不是有理数。

彩虹帽子 ⭐⭐⭐⭐

有七种颜色的帽子，七个犯人被戴上（可能有重复颜色）。 每个人能看到其他人的帽子，但看不到自己的。
现在七个人分别猜测自己帽子的颜色，如果均错误就全部处决。如果存在正确就全部释放。请给出一个策略使得他们能够被释放。

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如果只有两种帽子。策略：一个猜与对方相同，一个猜与对方不同。
对于 k 种帽子，首先给每种帽子分配 \(0 \sim k-1\) 之间一个整数，再设 \(x_i\) 为第 i 个人头上的帽子，观察到事实：\(\sum x_i\) 在 \(mod k\) 意义下取值范围为 \(0 \sim k-1\)。
因此 k 个人分别猜测 \(\sum x_i = 0 \dots k-1 \pmod k\)。

Calculus and Linear Algebra

2023/08/17

求导 ⭐⭐⭐

对 \((\ln x)^{\ln x}\) 求导。

更大的数 ⭐

\(e^\pi\) 和 \(\pi^e\) 哪个更大？

洛必达法则 ⭐

计算 \(\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x^2},\ \lim \limits_{x \rightarrow 0^+}x^2 \ln x\)。

这我哪会，先跳了。

Probability Theory

2023/08/20

硬币赌徒游戏

A 有 n+1 个硬币，B 有 n 个硬币。他们都随机扔出，请问 A 最终正面朝上硬币数比 B 多的概率是多少？ ⭐⭐⭐⭐

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我的解法：事件 C 表示 A 正面朝上硬币数比 B 多。
D 表示 A 正面朝上硬币数比 B 少或相等。
E 表示 A 反面朝上硬币数比 B 少或相等。
首先显然有 P(C) + P(D) = 1。
事件 C 与 E 实际上是一件事，故 P(C) = P(E)。
由对称性知 P(D) = P(E)。因此有 P(C) = 0.5。

另解：考虑 A 的前 n 个硬币扔出来，可以求得三个概率，A 多，B 多，一样多。分别设为 x, x, y。则有 2x + y = 1。
考虑 A 最终比 B 多，要么 A 的前 n 个硬币就比 B 多，要么 A 的前 n 个硬币与 B 相等，并且第 n+1 个硬币是正面。因此概率为 x + 0.5y = 0.5。

纸牌游戏 ⭐

有一副扑克牌，如果你的点数比另一个人大，你就赢了。请问你赢的概率是多少？

2023/08/21

醉酒的乘客 ⭐⭐⭐⭐

有 100 个座位编号为 1 ~ 100。第 i 个乘客的初始座位是 i。
第 1 个乘客喝醉酒了，所以他会随机坐一个座位。后面的每个乘客如果发现自己的座位没人坐，就会坐在自己座位上。如果发现有人坐，就会随机坐一个座位。
请问第 100 个乘客能坐在自己座位上的概率是多少？

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我的解法：考虑如果 1 坐在 k 上，那么 2~k-1 都会坐在自己座位上。接着 k 坐在 t 上，如果 t=1 会导致其余所有人都坐好。如果 t = 100 会导致第 100 个乘客一定无法坐在自己座位上。
如果 t 既不为 100 也不为 1，那么 k+1 ~ t-1 会坐在自己座位上，接着 t 面临相同的局面，这等价于 1 直接坐在 t 上。
于是我们直接从后往前归纳。若 k = 100，答案为 0；若 k = 99，显然答案为 0.5。
归纳向前可以得到当 k 为非 1 的其他数时均为 0.5，当 k 为 1 时答案为 1。故最终答案为 0.5。

另解：当 1 被先选中，答案为 1。当 100 被先选中，答案为 0。因此根据对称性得最终答案为 0.5。

圆上的 N 个点 ⭐⭐⭐⭐

圆上有 N 个点，请问他们都在同一个半圆中的概率。

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这题见过。n 个点都在同一个半圆中当且仅当存在一个点，其后的一个半圆中分布着剩余 n - 1 个点。
因此概率为 \(n \times 2^{-(n - 1)}\)。

扑克手牌 ⭐

52 张牌中摸 5 张，求获得四条、葫芦、两对的概率。

跳跃的兔子 ⭐

斐波那契数

疯狂的海盗2 ⭐⭐⭐⭐

11 个海盗将宝藏放到保险箱中。他们决定给保险箱加锁，使得他们中的任意 6 个人能打开锁，但任意 5 个人都不能。
可以有多把钥匙打开同一个锁。请问至少需要多少个锁，每个海盗至少拿多少个钥匙？

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明天写

20230822

不想做了，现在做的意义也不是很大，如果有缘以后再更。还是学学英语吧。