拉格朗日反演

拉格朗日反演及扩展拉格朗日反演#

如果有 $F(G(x))=x$，即 $F,G$ 互为复合逆，同时一定有 $G(F(x))=x$，可以称 $G(x)=F^{-1}(x),F(x)=G^{-1}(x)$。

在这种情况下，有这样的式子：

拉格朗日反演

$$[x^n]F(x)=\frac{1}{n}[x^{-1}](\frac{1}{G(x)})^n=\frac{1}{n}[x^{n-1}](\frac{x}{G(x)})^n$$

扩展拉格朗日反演

$$[x^n]H(F(x))=\frac{1}{n}[x^{-1}]H'(x)(\frac{1}{G(x)})^n=\frac{1}{n}[x^{n-1}]H'(x)(\frac{x}{G(x)})^n$$

 
 

大朋友和多叉树#

设 $F(x)$ 为答案的普通生成函数，那么有

$$F(x)=x+\sum \limits_{i=0}^{\infty}[i \in D] F^i(x)$$

$$x=F(x)-\sum \limits_{i=0}^{\infty}[i \in D] F^i(x)$$

这样的话就构造出了 $G(x)=F^{-1}(x)=x-\sum \limits_{i=0}^{\infty}[i \in D]x^i$。

对 $G$ 进行拉格朗日反演即可求出 $F$。

注意要求的是 $(\frac{x}{G(x)})^n$，然而 $G(x)$ 常数项一定为 $0$。

解决方法很简单，把式子化成 $(\cfrac{1}{\frac{G(x)}{x}})^n$ 即可。
 

边双图计数#

首先一般图的指数生成函数为 $H(x)=\sum \limits_{i=0}^\infty 2^{\binom{i}{2}}\frac{x^i}{i!}$。

可以求出一般连通图的指数生成函数 $P(x)$，$e^{P(x)}=H(x),P(x)=\ln H(x)$。

给 $P(x)$ 的第 $i$ 项系数乘上 $i$，即可得到有根一般连通图的指数生成函数 $D(x)$。

设有根边双图的生成函数为 $B(x)$，考虑枚举一般图中根所在的边双大小，接着把有根连通图挂在边双上的点上，那么有：

$$D(x)=\sum \limits_{i=1}^\infty b_ie^{iD(x)}\frac{x^i}{i!}$$

$$D(x)=\sum \limits_{i=1}^\infty b_i\frac{(xe^{D(x)})^i}{i!}=B(xe^{D(x)})$$

令 $C(x)=xe^{D(x)}$，可得 $D(x)=B(C(x))$。

对 $C(x)$ 取复合逆，可得 $B(x)=D(C^{-1}(x))$。

然后直接扩展拉格朗日反演冲上去：

$$[x^n]B(x)=[x^n]D(C^{-1}(x))=\frac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)(\frac{x}{C(x)})^n=\frac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)e^{-nD(x)}$$

 

点双图计数#

同上题可以求出 $D(x)$。

设无根点双图的生成函数为 $B(x)$，考虑一般图中根所在若干个无关的点双，可以直接 $\exp$ 起来，所以只需要考虑每个点双的生成函数。

对于每个点双，只要枚举大小然后在点双的每个点上挂一个有根连通图即可。

所以每个点双大概是这样的 $\sum \limits_{i=1}^{\infty}b_{i+1}\frac{D^i(x)}{i!}$。

可以给 $B$ 左移一位，使书写方便一些，有 $D(x)=xe^{B(D(x))}$。

这里用的点双生成函数是无根的，大概是因为这样就可以直接钦定编号最小的点是根节点，不去给根节点分配编号同时还保证用到的方案数是正确的。

对式子同取 $\ln$，可得 $\ln \frac{D(x)}{x}=B(D(x))$。

用 $D^{-1}(x)$ 替换掉 $x$，可得 $\ln \frac{x}{D^{-1}(x)}=B(x)$。

构造 $H(x)$ 为 $\ln \frac{D(x)}{x}$ 即可发现要求的就是 $B(x)=H(D^{-1}(x))$。

仍然是套一个扩展拉格朗日反演即可解决。