noi前第十八场 题解

A. 林海的密码

难点主要就是如何构造加法操作。

一个点数 \(2 \log n\)，边数 \(5 \log n\) 的做法是这样的。

像这样构造一个双向的环，显然一个内向生成树为断掉红边的后缀、黑边的前缀。
发现这样每次只能使贡献 \(*2\) 或者不变，所以问题就是用若干个连续的 \(2\) 的次幂把 \(c\) 拼凑出来。
容易发现先从小到大倍增，后从大到小倍增就好了。

另一个点数 \(\log n\)，边数 \(3 \log n\) 的做法是这样的。

考虑保留了哪条红边，那么红边以下的点均有 \(2\) 种选择，红边以上的点选择唯一。
所以可以根据 \(c\) 在二进制下哪些位为 \(1\) 选出红边。
 

B. 皮卡丘

把操作离线下来，建出树来。
在树上打个标记模拟一下就好了。
 

C. 我永远喜欢

考虑序列上的问题，可以首先对同类的点进行划分。
对于同类的 \(n\) 个点划分为 \(i\) 个连续段造成的贡献和，有 \(f_{n,i}=[x^n](e^x-1)^i\)，这个式子推一推就发现是卷积式。
然而直接合并会出现连接到一起的情况，所以二项式反演容斥一下。
分治 FFT 把这样的 EGF 卷积到一起即可。

对于环上的情况，考虑钦定第一个元素为第一类，并且最后一个元素不为第一类。
计算的方式就是给第一个元素对应的 EGF 左移若干位，表示钦定其中若干个不参与排列。
考虑这样每个方案被计算的次数为 第一个元素所在的连续段数/循环节数，而我们想要的计算次数为 循环节长度 次。
所以修改一下第一个元素的 EGF，把连续段数除掉，再乘上一个序列总长即可。