奇怪的基础容斥数学课件

子集反演

一般有一个很套路的方法。

比如现在有一个全集条件集合 $U$，现在要求恰好 $S$ 集合满足，$U-S$ 集合不满足的方案数，设其为 $f_S$，然而这个并不能直接算出。有一个比较好算的东西是，钦定 $T$ 集合满足，不管 $U-T$ 集合是否满足的方案数，设其为 $g_T$。

显然有 $g_S=\sum\limits_{S \subseteq T} f_T$，然后我们可以根据子集反演得到 $f_S=\sum \limits_{S \subseteq T} g_T(-1)^{|T|-|S|}$，这样的话就可以算出要求的方案数了。

这个玩意正确的原因是这样的：可以直接把前一个式子代入后一个式子，会得到
$f_S=\sum \limits_{S \subseteq T} \sum \limits_{T \subseteq Z}f_Z (-1)^{|T|-|S|}$
$=\sum \limits_{S\subseteq Z}f_Z\sum \limits_{S \subseteq T,T \subseteq Z} (-1)^{|T|-|S|}$
$=\sum \limits_{S\subseteq Z}f_Z\sum \limits_{T \subseteq Z-S} (-1)^{|T|}$
$=\sum \limits_{S\subseteq Z}f_Z[S=Z]=f_S$

小星星#

这题中的限制实际上就是：

1. $n$ 个点均出现在用来编号的排列中。
2. 相邻的编号存在边。

所以考虑这样一个做法，首先将排列这个限制去掉，转化为任意编号。

钦定集合 $S$ 可以出现在编号序列中，然后做一个简单的树形 $dp$ 来统计这样的方案数 $g_S$。

套用上面的式子，现在求的就是 $f_U$ ，有 $ans=\sum \limits_{S} g_S (-1)^{|U|-|S|}$。

Ribbons on Tree#

要求每条边都能被至少一条路径覆盖。

其实只需要钦定若干条边没有被覆盖，这样就会形成若干个联通块。

对于一个节点数为 $n$ 的联通块，不需要保证联通块内的边都被覆盖，所以任意匹配的方案数就是 $[2|n] (n-1)!!$。

答案就是对所有钦定的边集对应的方案数乘上容斥系数求和，这个东西只要记一下这个联通块已经放了多少个点，写一个 $O(n^2)$ 的树形 $\text{dp}$ 就可以解决，解题的思想就是用 $\text{dp}$ 来优化子集反演中暴力枚举条件集合的过程。

二项式反演

这个东西就与子集反演比较类似了，一般应用于现在的条件集合与具体哪些没有关系，而只与集合大小有关。

同样钦定若干个条件满足，设为 $g_i$，将恰好的方案数设为 $f_i$，有 $g_i=\sum \limits_{i \leq k}f_k\binom{k}{i}$。
然后根据二项式反演可以得到 $f_i=\sum \limits_{i \leq k}g_k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}$。

同样用代入的方法证明，将前一个式子代入后一个。
$f_i=\sum \limits_{i \leq k}\sum \limits_{k \leq j}f_j\binom{j}{k}\binom{k}{i}(-1)^{k-i}$
$=\sum \limits_{i \leq j}f_j \sum \limits_{i \leq k \leq j}\binom{j}{k}\binom{k}{i}(-1)^{k-i}$
$=\sum \limits_{i \leq j}f_j \sum \limits_{i \leq k \leq j}\binom{j}{i}\binom{j-i}{k-i}(-1)^{k-i}$
$=\sum \limits_{i \leq j}f_j \binom{j}{i} \sum \limits_{k=0}^{j-i}\binom{j-i}{k}(-1)^k$
$=\sum \limits_{i \leq j}f_j \binom{j}{i} (1-1)^{j-i}=f_i$

集合计数#

一个有 $n$ 个元素的集合有 $2^n$ 个不同子集（包含空集）。

现在要在这 $2^n$ 个集合中取出至少一个集合，使得它们的交集的元素个数为 $k$ ，求取法的方案数。

$1 \leq n \leq 10^6 ，0 \leq k \leq n$。

要求的是交集大小恰好为 $k$ ，设为 $f_k$，有一个容易算出的东西是钦定交集大小至少为 $k$，设为 $g_k$，有 $g_k=\binom{n}{k} (2^{2^{n-k}}-1)$。

$g_k=\sum \limits_{i \geq k} \binom{i}{k}f_i$

所以可以套用二项式反演的式子得到 $f_k=\sum \limits_{i \geq k}\binom{i}{k}(-1)^{i-k}g_i$

七选五#

设 $f_i$ 表示至少 $i$ 个元素放在对应位置的方案数，$g_i$ 表示恰好 $i$ 个元素放在对应位置的方案数，有 $f_i = \sum \limits_{j=i}^n g_j \binom{j}{i}, f_i = \binom{k}{i} \binom{n-i}{k-i}(k-i)!$。

反演一下就有 $g_i = \sum \limits_{j=i}^n f_j \binom{j}{i}(-1)^{j-i}$，这个就是答案了，这道题的 $n=k,x=0$ 算是经典的错排问题。