省选模拟80 题解

A. 数字

如果枚举 $x\ and \ y$ 的取值，可以进行一个简单的dp。

$dp_{i,0/1,0/1,0/1,0/1}$ 表示从高到低到第 i 位，最高的几位分别是否与 $lx,rx,ly,ry$ 相同，然后这个 dp 数组的取值也只有0/1。

所以可以 dp 套 dp。

在考虑过高位之后，需要记录的信息是这 $2^4$ 种状态分别的取值，所以写一个 $2^{2^4}$ 的状压。

每次考虑 $x \and \ y$ 的第 $i$ 位取值为 $0/1$ ，分别进行转移即可。 

 

B. 跳蚤

部分分提示了一些做法，可以对于 $t_i$ 的大小进行根号分治。

对于长度较大的，跳的次数不会很多，可以暴力维护。

对于长度较小的，对于每种长度用一个数据结构维护。

直接暴力复杂度就是 $O(n^{1.5} *log )$的。

然后对于其中一种 $t_i$ 比较大可以直接用分块优化，这样可以把复杂度降到 $O(n * sqrt(nlog))$。

然后对于另外一种，不能优化的瓶颈主要在于下标出现负数并且绝对值太大，没办法分块。

但是需要注意随时只关注长度为 $n$ 的连续段，所以可以把下标放在 $\bmod n$ 意义下考虑，这样就也可以分块优化了。

两种分块优化方法并不相同。

 

C. 棋盘

暴力 dp 做法显然。

因为 dp 的状态数实际上只有 $2,3,7$，所以可以考虑用矩阵、多项式来优化这个 dp。

其实就是给矩阵的每个位置都维护一个多项式。

其实暴力做就是 $O(m log  * |S|^3)$的，其中 $|S|$ 表示状态数。

但是暴力的做法常数肯定大的飞起。

然而其实只需要最终的多项式，所以可以直接把单位根的 $i$ 次方代入转移矩阵中的 $x$，这样最终求出的就是要求的点值。

然后暴力 $IDFT$ 插值出 $x^k$ 项系数即可。