图论专项测试

A. center

分别考虑每一条边。

二分答案，问题转化为判定是否存在可行区间。

然后列式子发现存在三种限制的形态，而其中的一种（含有或运算）并不是一个线性算法能够解决的。

盲猜这种情况并不多见，剪枝暴力$AC$。

个人认为三分的算法是伪的，见数据（不能hack三分算法，但不单谷）：

3 3

1 2 1

1 3 1

2 3 1

 

B. escape

考虑一条次短路径，可以表示为$1$->最短路->$a$->不经过最短路边->$b$->最短路->n。

然后发现我们只关注这个次短路大小，并不关注具体是谁。

对于每一个$b$，我们只关注最短的$1$->$a$->$b$。对于每一个$a$是同理的。

而$a!=b$，所以通过二进制分组优化这个暴力的过程，跑多源点多汇点的最短路就可以了。

 

C. chip

一个很神奇的网络流建图，这里写的是$Lrefrain$大神的做法，题解的消圈算法待补。

考虑枚举最终的零件数*$\frac{A}{B}$，显然这个只有$n$种不同的取值。

于是只需要考虑前两个限制，跑出最大的答案，并检测最终答案是否在合法区间内尝试更新答案。

令$h_i$表示第$i$行中C和.的个数，$l_i$表示第i列中C和.的个数。这里设我们枚举的限制为$lim$。

将行、列各$n$个点构造一个二分图，连边$(s,i)$。流量为$h_i$，费用为0。列与$t$连边同理。

对于$map_{i,j}='.'$，连边$(i,j+n)$，流量为1，费用为1。如果流过这条边，花费1费用，代表点$(i,j)$不装零件。

为了$i$行等于$i$列的限制，连边$(i,i+n)$，流量为$lim$，费用为0。流过这条边，不花费费用，代表这些点装上了零件。

跑最小费用最大流，为了保证费用最小，会尽可能的流经0费用边，也就是尽量跑满$lim$的限制。

这条$lim$的流量既限制了每一行的总流量，也限制了每一列的总流量。

为了使得流量最大，每个零件在$lim$已经流满，不能保留的前提下，只好选择通过带费用的边退掉。

考虑最终的结果，如果流量没有流满，显然不能更新，否则在合法的前提下用流量-费用更新答案即可。