模拟87 题解

A. maze

做过类似的题，维护最短路对于$k$的一个凸包，答案就是凸包与$y=s$直线交点的横坐标，这个还挺难打的。

然而答案显然具有单调性，所以直接二分答案就完了。

实际上，这个二分答案的操作，等价于选定直线$x=mid$，

求出$x=mid$与凸包的交点的纵坐标，并通过这个纵坐标与$s$比较来确定最终的$mid$即答案。

 

 

 

B. bird

将鸟的移动转化为人的移动，则问题是相邻$k$个位置最多打一枪。

设$dp_i$表示最后一枪在$i$处打的最优答案。

那么有转移$dp_i=dp_j+cnt_{j,i}$，$cnt_{j,i}$表示$j$处打不到但$i$处能打到的鸟的个数。

这个东西并不难维护，

对于每一个鸟，我们只要

在$l_i$处给$dp_0$~$dp_{l-1}$加上1，

在$r_{i+1}$处给$dp_0$~$dp_{l-1}$减去1，

用线段树进行加减操作，维护最值就完了。

 

 

 

C. stone

设$f(i,j)$表示点对$(i,j)$是否合法，只有$0/1$两个取值。

有转移

$a[i]=b[j]$  $f[i+1][j+1]=f[i][j]$

$a[i]!=b[j]$  $f[i+1][j]=f[i][j],f[i][j+1]=f[i][j]$

显然对于同一个$i$，$f(i,j)$取值为$1$的区间大概是连续的，设左右端点分别为$l_i$,$r_i$。

$l$，$r$数组的求法都是简单的。

然而$l_i,r_i$范围内并不全为$1$，其中穿插着许多$0$。

总的答案是$l_i$，$r_i$范围减去其中$0$的个数。

不妨先打出表来，实际上，打出的表告诉我们，结论是：答案要减去的是$b$字符串$l_i$,$r_i$范围内，

与字符串$s=a[i-1],a[i]$逆序的子串个数，即$l_i<=j<=r_i$ $a[i]==b[j-1],a[i-1]==b[j],a[i]!=a[i+1]$的个数。

一句话，答案为：$ans=\sum \limits_{i=1}^{n}r_i-l_i+1-\sum \limits_{j=l_i}^{r_i}[a[i]==b[j-1],a[i-1]==b[j],a[i]!=a[i-1]]$

由于$l$,$r$数组都是单调不降的，加上字符集只有$A,B,C$。

可以直接用单调指针求出后一个求和式，当然前缀和也是可以的。

 

考虑表中的$0$意味着什么。

因为$a[i-1]!=b[j-1]$ $a[i-1]==b[j]$ $a[i]==b[j-1]$等价于$a$，$b$形成逆序串。

我们用逆序串的个数求出了$f$值等于$0$的点对数，所以要证明的是：（注意下面的$f[i][j]$保证$j$在$l_i,r_i$范围内）

$f[i][j]=0$的充要条件是

1.$a[i-1]!=b[j-1]$

2.$a[i-1]==b[j]$

3.$a[i]==b[j-1]$

 

因为$f[i][j]$没有被$f[i-1][j-1]$转移，那么$f[i-1][j-1]==0$或$a[i-1]!=b[j-1]$。

因为$f[i][j]$没有被$f[i-1][j]$转移，那么$f[i-1][j]==0$或$a[i-1]==b[j]$

因为$f[i][j]$没有被$f[i][j-1]$转移，那么$f[i][j-1]==0$或$a[i]==b[j-1]$

因为有三个或，其充分性是显然的。

 

下面证$f[i-1][j]=1$和$f[i][j-1]=1$，即条件2 3是必要的：

1.假设$f[i-1][j-1]=1$，那么由$f[i][j]=0$，

$f[i-1][j-1]$必定要转移到$f[i-1][j]$和$f[i][j-1]$，所以$f[i-1][j]=f[i][j-1]=1$。

2.假设$f[i-1][j-1]=0$，由上述的证明，我们可以归纳得知$f[i-1][j-2]=1$，

由于$f[i-1][j-1]=0$，那么$f[i-1][j-2]$必定要转移到$f[i][j-1]$，所以$f[i][j-1]=1$，同理可得$f[i-1][j]=1$。

证毕。

 

下面证条件1是必要的：

1.假设$f[i-1][j-1]=1$，那么显然是必要的。

2.假设$f[i-1][j-1]=0$，那么在$(i-1,j-1)$，字符串$a$，$b$已经形成了逆序串，那么显然$a[i-1]!=b[j-1]$。

 

所以上述三个条件是充要的，$(i,j)$存在逆序串等价于$f[i][j]=0$，所以我们的计算是合理的。