模拟74 题解

A. 梦境

已经做过很多类似的套路题。

都是排序后贪心就完了。

将所有的区间以右端点排序，

因为每个区间对答案贡献相同为1，

区间右端点不断增加，那么显然可以直接取尽量靠左的点。

用$multiset$维护一下点，支持后继操作就可以了。

因为题中有相同的点，用$set$必死。

 

 

 

B. 玩具

题意大概是

树上的每一个点随机选择一个编号小于它的点作父亲，

求树高的期望。

设$dp_{i,j}$表示$i$个点，树高为$j$的方案数，考虑新加一个点对树高的贡献。

正常的思路是将这个新加的点放在叶子节点，然后就会发现这个$dp$死掉了。

所以我们尝试将这个点放在根节点。

那么转移到$dp_{i,j}$要求是，将$i-1$个点分为任意棵子树，保证每一棵子树的深度不超过$j-1$，并且存在一棵子树的深度为$j-1$。

用一个数组辅助转移，那么转移是可以进行的。

需要注意的是这个转移关注编号而不关注子树的相对顺序，我只打出了$O(n^5)$，卡常可过。

然后这个算法就死掉了。

 

正解修改了状态的定义：

$f_{i,j}$表示$i$个节点形成的树中，最大深度不超过$j$的概率。

$g_{i,j}$表示$i$个节点形成的森林中，最大深度不超过$j$的概率。

显然$f_{i,j}=g_{i-1,j-1}$，即在森林的根节点加入一个节点。

$g$数组的转移类似卷积的形式，也是可以进行的。

注意到$g_{i,j}$由$f_{k,j}$和$g_{i-k,j}$拼凑是有一个概率的。

设这个概率为$dp_{i,j}$，表示$i$个节点的森林中，有$j$个节点组成第一棵子树的概率。

$dp_{i,j}$在数值上等于$\frac{1}{i}$，可以简单归纳证明。

然而$dp$数组的递推式似乎并没有那么简单。

然而yxs大神对此的理解非常深刻。

 

 

 

C. 飘雪圣域

因为题中保证是一棵树。

显然的性质是：

联通块数=点数-边数。

对于每一个询问，点数是确定的，即$r-l+1$。

那么只要查询询问区间覆盖的边数。

对于一条边$(a,b)$，需要满足的限制是

$$l<=a<=r$$

$$l<=b<=r$$

显然的二维偏序问题。

因为不需要修改，$vector$在排序后支持二分操作，直接树状数组套一个$vector$就可以了。

当然本题有各种各样的方法做到$O(nlog)$，但是没有必要。