模拟49 题解

A. 养花

对原序列分块，预处理出每个块内对于每个 $k$ 的答案。

预处理的过程可以用调和级数的性质，这样对于每个块都 $O(V \text{ln} V)$ 预处理

对于询问，大块直接统计，小块暴力就可以了。

设值域为 $V$，块的大小为 $q$，那么总共有 $\frac{n}{q}$ 个块。

总复杂度为 $O(\frac{n}{q} \times V \text{ln}V + m \times (q+\frac{n}{q}))$。

不妨设 $n,m,q$ 同级，利用均值不等式可得当 $q=\sqrt{n\text{ln}n}$ 时最优。

 

 

 

B. 折射

按 $y_i$ 排序，即从左到右自动满足条件 $1$。

设 $dp_{i,j}$ 表示最后一个的横坐标为 $i$，倒数第二个的横坐标为 $j$。

那么可以写出简单的 dp 转移，前缀和优化一下就可以 $O(n^2)$。

然而会被卡空间，发现 dp 数组只用了一半，所以用等差数列把它拍到一维上就可以了。

 

正解是将点按$x$排序，

利用当前枚举点最靠右，那么一定是第一或第二个点的性质，设为向右/左拐，可以进行 $dp$。

 

 

 

C. 画作

结论：存在一种最优方案，使得操作区域不断为前一次操作区域的子集，并且相邻两次涂的颜色不同。

 

因为看不懂证明，所以不写证明，所以复制题解的证明：

考虑归纳证明, 记 S 为当前所有操作区域的并, T 为接下来一步的操作区域, 我们有:

1. T 与 S 有交的情况一定可以转化成 T 被 S 包含的情况。

2. T 与 S 交集为空时, 可以找一个连接 S 和 T 的集合 M 并操作 S ∪T ∪ M，

并将之前的所有操作连接到更外的层以及外层的连接部分同时操作，

特殊处理最外层和第二层的情况。

3. T 被 S 包含时，T 落在某个完整区域内时等价于情况二，否则一定连接若干个同色块，

这些块可以同时处理，步数一定不会更劣。

 

证明了以上结论，枚举起始点不断进行bfs，复杂度可以$O(n^5)$。

将同色的联通块视作0边，异色联通块视作1边，进行双端队列bfs，可以$O(n^4)$。

更容易理解的是继承上一层的bfs状态，直接进行拓展。