赛艇 题解

一颗赛艇

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4584

虽然名字听起来很暴力（+1s），却是组合计数好题，在考试时都没有看出来是组合计数。

 

对于子任务1/2

区间的总长度不超过1e6，可以将区间内的每个数离散化到一个区间里。

于是可以写出一个简单的dp，

dp（i，j）表示到第i个学校，最多派出划艇数量为j的方案数，

简单的转移。

使用数状数组或线段树优化一下就可以做到O（NlogN），

最后将答案-1，删去一个划艇都没有的方案即可。

 

 

正解

n很小，可以将n个区间的端点离散化，

得到最多2*n个端点。

改变dp的状态定义，

设dp（i，j）表示到第i个学校，最多派出划艇数量在离散化后（j-1，j）区间内的方案数。

不在同一区间内的方案，可以参照子任务1/2，直接进行转移，

对于在同一区间内的方案，则用到了组合数。

 

将问题抽象化，则为在连续k个空格上，每个空格选择（1，len）之中的一个数放入，或者不选择任何一个数，要求严格递增，求总方案数。

不妨先考虑一个简单的问题：

不能不选择数，求总方案数。

显然答案是C（len，k），因为对于每种组合，和问题的答案是一一对应的。

推广到可以不选数的情况，

我们可以在k个空格外，增加k个0，第i个0表示第i个空格不选数，

我们发现，C（len+k，k）恰好与我们所求的问题一一对应，于是我们用构造的方法得到了问题的解，

使用前缀和等优化一下转移即可。