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 机器学习经典损失函数

 

0-1损失（二分类）、交叉熵损失（分类）、Softmax Loss（多分类）、合页损失（SVM）、均方差（线性回归）、Modified Huber Loss（分类）、指数损失（Adaboost）

1 0-1 Loss

• 一般来说，二分类机器学习模型包含两个部分：线性输出一般是s = wx；非线性输出比如是Sigmoid函数

，经过 Sigmoid 函数，g(s) 值被限定在 [0,1] 之间，若 s ≥ 0，g(s) ≥ 0.5，则预测为正类；若 s < 0，g(s) < 0.5，则预测为负类。

• 表示正负类有两种方式： {+1, -1} 或 {1, 0} 。使用 y={+1, -1}时，若 ys ≥ 0，则预测正确，若 ys < 0，则预测错误。ys 的符号反映了预测的准确性和预测的置信程度。预测类别与真实类别的四种情况：
• s ≥ 0, y = +1: 预测正确
• s ≥ 0, y = -1: 预测错误
• s < 0, y = +1: 预测错误
• s < 0, y = -1: 预测正确
• 0-1 Loss 是最简单的一种损失函数。对于二分类问题，如果预测类别 y^与真实类别 y 不同，则 L=1；如果 y_^= y ，则 L=0。
• L 表示损失函数，横坐标为ys，下图为loss曲线：

• 优点：非常直观容易理解
• 缺点：实际应用中原始Loss 很少使用。
• Loss 对每个错分类点都施以相同的惩罚（损失为 1），同等看待，这样对犯错比较大的点（ys 远小于 0）无法进行较大的惩罚，这不符合常理。
• 不连续、非凸、不可导，难以使用梯度优化算法。

2 交叉熵损失 (Cross Entropy Loss)

• 用于Logistic 回归与Softmax 分类，要与Sigmoid（二分类）或Softmax（多分类）联合使用。逻辑回归就是分类问题
• 从Shannon信息论角度推导交叉熵：
• 信息量：I(x)=−log( p(x) )，一个事件发生的概率越大，则它的信息量就越小。
• 熵：对于一个随机变量X而言，它的所有可能取值的信息量的期望E[I(x)]就称为熵。

• 期望：离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率p(xi)乘积之和称为期望E(x) 。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。

• 相对熵 (relative entropy)：又称为KL散度、KL距离，是两个随机分布间距离的度量，D(p||q)。它可以度量当真实分布为p时，假设分布q的无效性。
• 机器学习的目的就是希望计算得到的概率分布q尽可能地逼近真实概率分布p，从而使得相对熵接近最小值0。

• 交叉熵：相对熵公式的后半部分就是交叉熵，也反映了分布p q的相似程度，值越小越相似。
• 由于真实的概率分布是固定的，相对熵公式的前半部分就成了一个常数，那么相对熵达到最小值的时候，也意味着交叉熵达到了最小值。对q的优化就等效于求交叉熵的最小值。

• 二分类的逻辑回归交叉熵损失函数：二分类时y^用Sigmoid，输出标签为{0,1}时如下式，当y=1但y^不为1时误差随着y^变小而变大：
• 而多分类时y^用Softmax，L=-yi*log(yi^)，i是真实类别

• 从极大似然性的角度推导：对交叉熵求最小值，也等效于求最大似然估计。输出标签为{0,1}时预测类别的概率P可以写成，引入-log使概率 P(y|x) 越大-log P(y|x) 越小：
• 当真实样本标签 y = 1 时忽略第二项； y = 0 时忽略第一项。

• Loss曲线，当输出标签y用{1,0}表示时：
• 当y=1时 L=-log(y^)，将sigmoid的y^=1/(1+e^-s)代入，得到Loss曲线，线性输出s 越大于零，L 越小，左图，横坐标是s
• 当y=0时 L=-log(1-y^)，s 越小于零，L 越小，右图

• 当输出标签y用{-1,+1}表示时：交叉熵loss是一样的，只是表示方式不同，用ys替换上面的s。把ys整合作为横坐标，容易作图且具有实际的物理意义。

• 优点：是使用最广泛的损失函数之一
• 在整个实数域内，Loss 近似线性变化，尤其是当 ys << 0 的时候，Loss 更近似线性。错误越大惩罚越大
• 交叉熵 Loss 连续可导，便于求导计算
• 模型受异常点的干扰就较小

参考：
参考1 交叉熵损失函数公式推导


3 Softmax Loss

• 多用于神经网络多分类问题

概念区分

• Softmax回归：逻辑回归的一般形式，将logistic激活函数推广到了C个类别，C=2的Softmax回归就是逻辑回归。
• Softmax分类器：是多类别的分类器。没有隐藏层的神经网络任何两个分类之间的决策边界都是线性的，但可以用多个不同的线性函数来分成多类（多个神经单元）。网络越深就可以学到更复杂的非线性决策边界。
• Softmax层：在神经网络的最后一层输出层，有几个类别就设几个单元，算出各单元线性预测值z后，用Softmax激活函数算出各概率。
• 图像分类的主干网络AlexNet/VGG/ResNet/MobileNet等预测模型的最后一层都是"Softmax"，训练和验证模型的最后一层都是"Accuracy"+"SoftmaxWithLoss"。因为图像分类只需要对深度特征进行分离即可。
• Softmax函数（激活函数）：将z映射为概率的公式如下，它同时需要一个向量z_i，因为要结合所有输出归一化成概率，输出也是向量。它通常用在输出层上。
• Sigmoid和ReLu激活函数都是只处理一个实数z，输出也是一个实数。二分类时的输出层用Sigmoid函数，隐藏层用ReLu函数。
• Softmax-Loss（Softmax损失函数）：带有Softmax输出层的神经网络的损失函数，Softmax分类器的损失函数，Softmax激活函数的计算结果作为Softmax分类器损失函数的输入。
• Hardmax：将z中最大元素置1，其他位置都是0。而Softmax从z到概率的映射更温和，是具体概率值。

Softmax激活函数，求多类别概率

• 在逻辑回归中的作用是将线性预测值转化为类别概率，Softmax函数定义如下：
• 经典的深度神经网络顶层其实本来也就是一个逻辑回归分类器

• 设zi=wx+b是第i个类别的线性预测结果，带入Softmax其实就是先对每一个zi取指数变成非负（避免相加时正负值相抵），然后除以所有项之和来进行归一化变成0~1间的各类别概率。现在每个oi=σi(z)就可以解释成数据 x 属于多个类别 i 的概率（m个类别，一个数据x有很多个特征x0,x1,x2...），或称似然 (Likelihood)。
• 注意：逻辑回归中zi经过sigmoid激活函数，转换成了0~1间的概率值，计算数据x属于这个正确类y=1的概率。

Softmax分类器用的损失函数（交叉熵损失）， Multinomial Logistic Loss

• 逻辑回归的目标函数（代价函数，损失函数）是根据最大似然原则来建立的，假设数据x所对应的类别为y，o_y就是由Softmax函数算来的x属于正确类别y的概率。最大似然就是要最大化o_y，通常使用 negative log-likelihood 而不是 likelihood，也就是说最小化 -log(o_y) 的值，这两者结果在数学上等价。所以最小化代价函数就是最小化：

• 在Softmax分类中一般用的损失函数是：（吴恩达解释）
• 正确样本y2=1，其他样本都是0就舍弃了（公式是交叉熵损失函数）
• 最小化损失函数，就是最大似然，就是最大化-log(o_y)，就是最大化o_y。（o_y就是y2^）

• 整个训练集的损失 J，是所有损失的和的平均值，前面的是单个训练样本的损失。这个的损失函数展开就是各网络层各单元的参数w b的代数式，求梯度时也是对它们求梯度。梯度下降时要求出损失函数对所有层所有单元中权重的梯度，同时更新所有的权重。

Softmax-Loss

• Softmax-Loss就是将Softmax激活函数代入了上面的损失函数L，且参与的是实际类别的Softmax激活值s_yi和所有类别Softmax激活值的和s_j。下图是cs231n中的表示（R是正则项，惩罚W来减轻复杂度）：

• Softmax-Loss实际上是由softmax函数和交叉熵损失函数(Cross Entropy Loss)组合而成。
• Softmax激活函数和Multinomial Logistic Loss是可以合并成一个Softmax-loss层，也可以是分开的，分开后更灵活一点，但有数值稳定性的问题，计算量也变大。
• Loss曲线：当 s << 0 时，Softmax 近似线性；当 s>>0 时，Softmax 趋向于零。

• 优点：Softmax 同样受异常点的干扰较小

weighted softmax loss（加权softmax）

• 假如我们是一个分类问题，只有两类，但是两类的样本数目差距非常之大。比如边缘检测问题，边缘像素的重要性是比非边缘像素大的，此时可以针对性的对样本进行加权。

• wc就是这个权重，c=0代表边缘像素，c=1代表非边缘像素，则我们可以令w0=1，w1=0.001，即加大边缘像素的权重。当然也可以自适应权重。

参考：
Softmax与Softmax-Loss AI之路


4 合页损失 (Hinge Loss)

• Hinge Loss 一般多用于支持向量机SVM（大间距分类器）中，体现了 SVM 距离最大化的思想。
• 优点：当 Loss>0时是线性函数，便于梯度下降算法求导。

Hinge loss用于二分类

• 以SVM的线性输出模型为例y^=s=wx，L 为下列公式，loss曲线以ys=y*y^为横轴
• 若y*y^<1，则损失为 1-y*y^ 大于零，分类错误
• 输出标签y=-1时，-1<y^<0，y=1时，0<y^<1，此范围loss都不等于0
• 若y*y^>=1，则损失为 0，分类正确
• 输出标签y=-1时，y^<=-1，y=1时，y^>=1，此范围loss都等于0

Hinge loss用于最大间距

• 代表正负样本得分的间距：
• y'>y+m时，loss=0，即正样本的预测值大于负样本的预测值加间距
• y是正样本的得分，y' 是负样本的得分，m是两者间距。

• 希望正样本分数越高越好，负样本分数越低越好，但二者得分之差最多到m就足够了，差距增大并不会有任何奖励。
• cs231n中的表示：

5 均方差 (MSE, mean squared error)

• 用于线性回归问题，属于最小二乘法(OLS)
• 最小二乘的基本原则是：最优拟合直线应该是使各点到回归直线的距离和最小的直线，即平方和最小。
• 用均方差（MSE）作为一项衡量指标：

• 线性回归为什么不能用交叉熵？交叉熵公式对于线性回归问题，任意取一个值比如 -1.5，就没法计算 log(-1.5)，所以一般不用交叉熵来优化回归问题。
• 分类问题为什么不能用MSE？分类问题需要用 one hot 的形式计算各 label 的概率，然后用 argmax 来决定分类，计算概率的时候通常用 softmax。用 MSE 计算 loss 的问题在于，通过 Softmax 输出的曲线是波动的，有很多局部的极值点，非凸优化问题。而 cross entropy 计算 loss，则依旧是一个凸优化问题，可用梯度下降求解。

参考：
方差、MSE等公式 为什么分类问题用 cross entropy，而回归问题用 MSE


6 Modified Huber Loss

• scikit-learn 中的 SGDClassifier 就使用了它。
• Huber Loss 也能应用于分类问题中，称为 Modified Huber Loss：

• Loss曲线：Modified Huber Loss 结合了 MSE、Hinge Loss 和 交叉熵 Loss 的优点。

• 优点：一方面能在 ys > 1 时产生稀疏解提高训练效率；另一方面对于 ys < −1 样本的惩罚以线性增加，这意味着受异常点的干扰较少。

7 指数损失 (Exponential Loss)

• 多用于AdaBoost 中
• 指数损失：

• Exponential Loss 与交叉熵 Loss 类似，但它是指数下降的，梯度更大。
• 缺点：受异常点的干扰较大

比较各loss对异常点的容忍性

• 绘制5种Loss，左图 ys 的取值范围是 [-2,+2]，右图范围[-5,+5]：

• Exponential Loss 远远大于其它 Loss。从训练的角度来看，如果样本中存在离群点，Exponential Loss 会给离群点赋予更高的惩罚权重，但却可能是以牺牲其他正常数据点的预测效果为代价，降低模型的整体性能
• 相比 Exponential Loss，其它四个 Loss，包括 Softmax Loss，都对离群点有较好的“容忍性”，受异常点的干扰较小，模型较为健壮。

参考：
机器学习分类损失函数 机器学习中的损失函数

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发布于 2019-08-03