球体旋转坐标推导

球体旋转的坐标公式为：

旋转X轴时，旋转角度为：α

x'=x

y'=ycosα-zsinα

z'=zcosα+ysinα

旋转Y轴时，旋转角度为：β

y'=y

x'=xcosβ+zsinβ

z'=zcosβ-xsinβ

 

旋转Z轴时，旋转角度为：γ

z'=z

x'=xcosγ-ysinγ

y'=ycosγ+xsinγ

 

上面的公式是从网上查到的，想要了解那几条公式是怎样计算出来的，高中的数学几乎忘得差不多了，想想这样也不算难，要是高中那时一下子就推导出来了。结果想了好久才推导出来，郁闷了一下下。

 

下面，以旋转Z轴为例来推导公式

以Z轴为轴心旋转时，旋转点的坐标的z坐标是不变的，变化的只是x,y。可以看作旋转球体的坐标在xy坐标的投影，这样就相当于点在直线xy坐标以原点为中心旋转，旋转的夹角投影也角度也不变，依然为γ

设原点为O，旋转前的点为A（x,y)，旋转后的点为B(x',y')，OA距离为r，OA与x轴的夹角为θ

所以OA=OB=r

OA=x/cosγ=y/sinγ

OB=x'/cos(θ+γ)=y'/sin(θ+γ)

还记得 cos(θ+γ)=cosθcosγ-sinθsinγ; sin(θ+γ)=sinθcosγ+sinγcossinθ么，没错，这是重要的一步，我也想了好久

接下来的转换就简单啦

x'=rcos(θ+γ)=r(cosθcosγ+sinθsinγ)=rcosθcosγ-rsinθsinγ=xcosγ-ysinγ

y'=rsin(θ+γ)=r(sinθcosγ+sinγcossinθ)=rsinθcosγ+rsinγcossinθ=ycosγ+xsinγ

因为z坐标是不变的，z'=z

 

其他的旋转坐标转换推导同上