8. 有向图

数学竞赛的学习终于谢幕，希望可以看看远点的地方。 ——题记

目录

• 前言
• c3——有向图的连通性
  • 有向完全图-竞赛图
• c6——有向Hamiton链

前言

简单图基础之上加上方向，前述所有章节皆可推广；
c2——有向最小生成树的构造？
有向最短路径——可沿用Dijkstra；有向最长路径——竟然是用dp;
有向平图、有向图的匹配——强弱连通、有向图的着色——如令汇聚于一点的边不同色，从一点发源的边可以同色

c3——有向图的连通性

必要性常常可能是充要性，强连通=存在含所有点有向回路，
弱连通->任意S,S有点可到达其余所有点，=存在含所有点有向路径

有向完全图-竞赛图

有向图含X(G)-1的有向轨道，nice 染色
反：出度最大->王，王未必出度最大，\(\Delta(G)=v-1\)=单王
王到任意顶点至多2步

c6——有向Hamiton链

强连通竞赛图中任一点存在k阶圈中，为Hamiton图虫咬
严格有向图，最长路径下确界为max{\(\delta^+,\delta^-\)}，最长圈下确界+1
定理8.9 if(\(\delta^-,\delta^+\geq\frac{v}{2}\))，D为有向Hamiton图

• 反证，设C为G中最大有向圈，L为G-V(C)中最长轨道(len=m,起=u,终=v)，由C最大,设S为C的入点集，T为C的出点集，v出点和u入点在C中距离>m+1,与deg(vi)>=v/2矛盾