3.点/边连通度

目录

• Menger定理
  • • 扇形定理
    • Dirac's Law：k-连通G必然存在圈C包含任意k顶点集合S，但未必以指定顺序排布
• 割顶、桥、块
  • ——整齐的同余构造

Menger定理

对G的边数归纳，设c_{G}(u,v)=k，要证p_{G}(u,v)\geqk，
假设pG(u,v)<k,
注意必然存在e=xy两个邻点不为u,v，否则p_{G}(u,v)=c_{G}(u,v)，矛盾
设H=G-e,p_{G}(u,v)\geq p_{H}(u,v)=c_{H}(u,v)\geq c_{G}(u,v)-1
所以pG(u,v)=pH(u,v)=cH(u,v)=k-1,cG(u,v)=k
设H(u,v)的顶割集S={a1,a2,...,ak-1},
因为cG(u,v)=k,所以G-S还有一条u,v间的轨道p1，
设H-S中u，v的邻域分别为X,Y
在G中分别将XU{u}收缩为x,设为G'，易证cG'(u,v)=k,
由归纳假设，pG'(u,v)=k，G‘中有k条不交轨道，其中k-1条从Y侧过S
同理YU{v}收缩为y，设为G''，pG''(u,v)=k,G''中k-1条X侧过S
将G'Y侧中与S相连的n-1条不交轨道与G‘’中X侧与D相连的n-1条不交轨道分配，可得k条轨道，矛盾

扇形定理

G是k-连通图，新增顶点y，与G中k个点相连得G',G‘也为k-连通
所以k-连通G中|X|,|Y|>=k,则X与Y存在k条(X,Y)-轨道
所以G中存在x到V(G)-x的k-扇形

Dirac's Law：k-连通G必然存在圈C包含任意k顶点集合S，但未必以指定顺序排布

证：试试归纳，n=k+1,去掉一个点x，有圈C含{x1,...,xk}，若|C|>=k+1,可得圈C1,x与C1的k连通，必有两点在同一段内，可
否,|C|=k,有k扇形，去x1x2,补x1xx2，

割顶、桥、块

判定G是块\(\iff G\)是树

——整齐的同余构造

如何建造可靠通信网络，G的权值最小的k-连通图？