7.图着色

五色定理的失败告诉我们，很多我们看上去觉得简单的证明，其实我们完全不会。 ——题记

目录

• • • 点着色一些性质：
    • 边着色：
    • 平面图着色：
      • 四色定理的证明：
      • 五色定理
• G是连通的，但G的点、边导出子图，最大可匹配轨迹、圈的交并未必是连通的，
  • • 颜色多项式——正常顶点着色方法数

点着色一些性质：

1. \(\chi(G)=v(G)\iff G为完全图\)
   证：\(G=Kv,\chi(G)=v\);
   \(G≠Kv，chi(G)<v;\)
   \(G\neq K_{v+1},chi(G)<(v+1)\)
2. \(\chi(G)\leq\Delta(G)+1\)
3. \(\chi(C_v)=3(v为偶数)；2(v=2k)\)
4. \(\chi(H)\leq\chi(G)\)
5. \(Brooks定理：G_v不是完全图和奇圈，\chi(G)\leq\Delta(G)\)
   
   推论: Peterson图的\(\chi(G)=3\)
   [========]

边着色：

• 穷举法可知Peterson图着色数=4,目前不确定求图边着色数的算法

1. 连通图G不是奇圈，则存在2-边着色使得任意满足deg(v)>1的v,都关联这两种颜色
   PS：c(v)=顶点v关联的边中出现的颜色数，最佳k-边着色make \(\sum c(v)min\)，which maximum=\(\sum deg(v)\)
   Ps2：最佳k-边着色未必是k-边着色的
2. 最佳k染色C，G=(E1,E2,...,Ek),在v0的边中，i appears twice,j appears none,\(G{[E_iUE_j]}\)含v0分支为奇圈
   p1: \(E_iUE_j\),c(v')>=c(v),c'(v0)=c(v0)+1
3. 二分图不含奇圈，consider best\(\Delta(G)\)-着色，
   PS:X'(G)为最少着色数
   if vi has two edge with same color,must has a j appear none,wrong;verse same;
   so best \(\Delta\)-paint make every vi has all the color,so X'(G)<=\(\Delta(G)\);
   it's apparent that \(\Delta(G)\)<=X'(G),so them equal;
4. as to simple graph,\(\Delta(G)\)<=X'(G);
   if(X'(G)>\(\Delta(G)\)+1) ,we lost another chance,

• G是二分图，\(\chi(G)=\Delta(G)\)
• Vizing's Law:G是简单图，则X'(G)=\(\Delta(G)/\Delta(G)+1\)
  证:
  结合最佳\(\Delta+1\)最大性、最佳匹配中i2次，j0次，G[EiUEj]必有奇圈，
  逐步反证搞到一点邻点的性质，努力地找出一个更大\(\Delta+1\)-着色
  [========]

平面图着色：

面着色可转化为点着色，与对偶图着色数相同

四色定理的证明：

1. Kample的证明:
2. Appel和Haken的思路
3. 不可避免集
4. 可约性

五色定理

五色定理的失败告诉我们，很多我们看上去觉得简单的证明，其实我们完全不会

G是连通的，但G的点、边导出子图，最大可匹配轨迹、圈的交并未必是连通的，

颜色多项式——正常顶点着色方法数

1. pk(G)=k^v,当且仅当G是v阶0图
2. pk(G)=k(k-1)...(k-v+1),当且仅当G=Kv
3. p4>0,当且仅当四色定理成立
4. G1,...,Gn为连通片，\(p_k(G)=\prod_{i=1}^{n} p_i(G)\)
   \(p_k(G)=p_k(G-e)-p_k(G·e)\)
   根据该公式，将G的着色方案数转变成Kv或K0的着色数