7.图着色

五色定理的失败告诉我们，很多我们看上去觉得简单的证明，其实我们完全不会。 ——题记

目录

• • • 点着色一些性质：
    • 边着色：
    • 平面图着色：
      • 四色定理的证明：
      • 五色定理
• G是连通的，但G的点、边导出子图，最大可匹配轨迹、圈的交并未必是连通的，
  • • 颜色多项式——正常顶点着色方法数

点着色一些性质：

1. $\chi (G)=v(G)⟺G\mathrm{为}\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{图}$
   证：$G=Kv,\chi (G)=v$;
   $G\ne Kv，chi(G)<v;$
   $G\ne K_{v+1},chi(G)<(v+1)$
2. $\chi (G)\le \mathrm{\Delta }(G)+1$
3. $\chi (C_v)=3(v\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{数})；2(v=2k)$
4. $\chi (H)\le \chi (G)$
5. $Brooks\mathrm{定}\mathrm{理}：G_v\mathrm{不}\mathrm{是}\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{图}\mathrm{和}\mathrm{奇}\mathrm{圈}，\chi (G)\le \mathrm{\Delta }(G)$
   
   推论: Peterson图的$\chi (G)=3$
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边着色：

• 穷举法可知Peterson图着色数=4,目前不确定求图边着色数的算法

1. 连通图G不是奇圈，则存在2-边着色使得任意满足deg(v)>1的v,都关联这两种颜色
   PS：c(v)=顶点v关联的边中出现的颜色数，最佳k-边着色make $\sum c(v)min$，which maximum=$\sum deg(v)$
   Ps2：最佳k-边着色未必是k-边着色的
2. 最佳k染色C，G=(E1,E2,...,Ek),在v0的边中，i appears twice,j appears none,$G[E_{i}U{E}_j]$含v0分支为奇圈
   p1: $E_{i}U{E}_j$,c(v')>=c(v),c'(v0)=c(v0)+1
3. 二分图不含奇圈，consider best$\mathrm{\Delta }(G)$-着色，
   PS:X'(G)为最少着色数
   if vi has two edge with same color,must has a j appear none,wrong;verse same;
   so best $\mathrm{\Delta }$-paint make every vi has all the color,so X'(G)<=$\mathrm{\Delta }(G)$;
   it's apparent that $\mathrm{\Delta }(G)$<=X'(G),so them equal;
4. as to simple graph,$\mathrm{\Delta }(G)$<=X'(G);
   if(X'(G)>$\mathrm{\Delta }(G)$+1) ,we lost another chance,

• G是二分图，$\chi (G)=\mathrm{\Delta }(G)$
• Vizing's Law:G是简单图，则X'(G)=$\mathrm{\Delta }(G)/\mathrm{\Delta }(G)+1$
  证:
  结合最佳$\mathrm{\Delta }+1$最大性、最佳匹配中i2次，j0次，G[EiUEj]必有奇圈，
  逐步反证搞到一点邻点的性质，努力地找出一个更大$\mathrm{\Delta }+1$-着色
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平面图着色：

面着色可转化为点着色，与对偶图着色数相同

四色定理的证明：

1. Kample的证明:
2. Appel和Haken的思路
3. 不可避免集
4. 可约性

五色定理

五色定理的失败告诉我们，很多我们看上去觉得简单的证明，其实我们完全不会

G是连通的，但G的点、边导出子图，最大可匹配轨迹、圈的交并未必是连通的，

颜色多项式——正常顶点着色方法数

1. pk(G)=k^v,当且仅当G是v阶0图
2. pk(G)=k(k-1)...(k-v+1),当且仅当G=Kv
3. p4>0,当且仅当四色定理成立
4. G1,...,Gn为连通片，$p_k(G)=\prod _{i=1}^n{p}_i(G)$
   $p_k(G)=p_k(G-e)-p_k(G·e)$
   根据该公式，将G的着色方案数转变成Kv或K0的着色数