dp与贪心

目录

• 心得
• dp&贪心|分治
  • 最优子结构：选择某某后必然可以选择f(sn-an,n-1)
  • 重叠子问题:fn会用到fn-1,
  • 实现方式
  • 经典问题：
• 例题讲解：
  • 无重叠区间
  • 跳跃
• 补充问题：
  • 最长递增子序列

心得

为什么要用动态规划，因为想优化枚举，
为什么要贪心，因为想优化dp

dp&贪心|分治

dp规划优于递归暴力枚举，在于它在面对n时，利用了n-1的结果，f(sn,n)=max(an+f(sn-an,n-1),f(sn,n-1))

最优子结构：选择某某后必然可以选择f(sn-an,n-1)

贪心算法不用比较an+f(sn-an,n-1)与f(sn,n-1)，f(sn,n)=an+f(sn-an,n-1),f(sn,n)一定会选择an需要证明
分治法

重叠子问题:fn会用到fn-1,

分治法不具这种结构，

实现方式

1.自底而上：1~n，使用备忘，来避免递归
2.自顶而下：n~1,递归调用，比自底而上慢常量级,但可以去掉某些完全不用的子问题

经典问题：

	钢条切割	矩阵链最少计算次数	LCS
递归式	A	max(m[i,k]+m[k+1,j]+pip(k+1)p(j+1)	l(m,n)=l(m-1,n-1)+1/min(l(m,n-1),l(m-1,n)）
idea			X[m]!=Y[n]不可用贪心

例题讲解：

无重叠区间

给定一个区间的集合，找到需要移除区间的最小数量，使剩余区间互不重叠。

首先反面考虑，需要移除区间的最小数量\(\iff\)需要保留的最大数量
用贪心的话，我们试图找到这样一个区间，在这个区间两侧的最多区间N'加上这个区间为整体的最多区间N
容易看见这样的区间不能包含其他区间，而如果只是与其他区间重叠的话呢？
假设不选这个区间A而选其他与这个区间重叠的A'，试图找到A的性质使得如果选A'可以那么选A更可以，
双侧的话一定会包含，看一看单侧呢，因此A为右侧最左的区间或左侧最右的区间

跳跃

容易想到选择跳最后一步的位置下标l最小的，
验证，假设l'>l,最后一步l'跳k步，则跳k步一定有一步t跨越l,令t这一步停在l，且之后一直停，这说明l'可以,l必可以
故上述选择可用于贪心

待更_最优二叉搜索树

补充问题：

最长递增子序列

1. 滑动窗口，O(n);