4. 平面图

graph LR 1[平面图点边面关系] 3["极大平面图:顶点固定,边数至多"] 4[怎么判断为平面图] 1-->3 3-->4

点边面关系

1. 平面图(|v|>=4)对应北极球上多面体，
2. Euler公式：对任意连通平图G，\(v- \epsilon + \phi =2\)

• 注意：1边对2面，1面>=3边；点面对任意；1边2点；

3. 基本不等式: 对任意图G,\(2* \epsilon \geq 3* \phi\)
4. 连通平图G 满足： \(\epsilon \leq 3*v-2，\phi<2*v-4,\delta(v) \leq 5\),可见平面图的边数是较少的

极大平面图，点边数有什么关系呢

1. \(\epsilon_{max}=3*v-2; \phi_{max}=2*v-4\),此时为极大平面图，灵活归纳构造
2. 平面图\(\delta\geq3\):
   需要跟着想象的推理——v为G度数最小点，v>=4，必有G'=G平面嵌入且v在G'-v内部，
   又G为极大平面图，deg(v)>=3

• 平面嵌入可以随着投射求旋转变化

同胚与可平面图的判定

• 背景：发现平面图都可以转化为\(K_5/K_{3,3}\)

1. 同胚——可逆操作：在边上加顶点\(\iff\)v(deg(v)=2)抹去
2. 可平面定理：图可平面\(\iff\)不同胚于\(K_{3,3}/K_5\)
3. 厚度=非可平面图的最少平面图数目
4. 判断可平面图的效率算法：PLA\(\rightarrow\)st编码\(\rightarrow\)bush robusting算法