4. 平面图

点边面关系

1. 平面图(|v|>=4)对应北极球上多面体，
2. Euler公式：对任意连通平图G，$v-ϵ+\varphi =2$

• 注意：1边对2面，1面>=3边；点面对任意；1边2点；

3. 基本不等式: 对任意图G,$2\ast ϵ\ge 3\ast \varphi$
4. 连通平图G 满足： $ϵ\le 3\ast v-2，\varphi <2\ast v-4,\delta (v)\le 5$,可见平面图的边数是较少的

极大平面图，点边数有什么关系呢

1. ${ϵ}_{max}=3\ast v-2;{\varphi }_{max}=2\ast v-4$,此时为极大平面图，灵活归纳构造
2. 平面图$\delta \ge 3$:
   需要跟着想象的推理——v为G度数最小点，v>=4，必有G'=G平面嵌入且v在G'-v内部，
   又G为极大平面图，deg(v)>=3

• 平面嵌入可以随着投射求旋转变化

同胚与可平面图的判定

• 背景：发现平面图都可以转化为$K_5/K_{3,3}$

1. 同胚——可逆操作：在边上加顶点$⟺$v(deg(v)=2)抹去
2. 可平面定理：图可平面$⟺$不同胚于$K_{3,3}/K_5$
3. 厚度=非可平面图的最少平面图数目
4. 判断可平面图的效率算法：PLA$\to$st编码$\to$bush robusting算法