简单贪心模型(NOIP考点)

       这两天把几个贪心模型打了一遍，这里就把模型及其证明总结一下。

 

贪心性质：

1.局部最优解----->全局最优解

2.无后效性(贪心的选择只取决于之前的状态，后面的选择不会影响当前的选择)。

 

模型1：选择不想交区间问题

题目：给定n个开区间（ai , bi），选择尽量多个区间，使得这些区间两两没有公共点。

思路：用b(i)排序，且b(i)<=b(i+1)，若当前区间的左端点（大于等于）上一选择区间的右端点，则可以选择该区间。

证明：以后再补吧...

 

模型2：区间选点问题

题目：给定N个闭区间【ai,bi】，在数轴上选尽量少的点，使得每个区间内都至少有一个点（不同区间内含的点可以是同一个）。

思路：很明显，我们希望的就是一个点能在尽可能多的区间中。先将区间用b（i）排序，且b(i)<=b(i+1)。对于第一个区间，其它所有区间的右端点都在它的区间的右端点的右边，所以我们选这个区间的右端点。所以这个结论可以推广到所有的区间，但是如果当前区间已经被覆盖了，就没有必要再取选点了。

证明：一般用反证法，假设我们不选取每个区间的右端点，而选择靠左的某个点，其坐标为i，如果有区间左端点为i+1，那就说明选的这个点不是最优的。所以选择右端点是最优的。

 

模型3：区间覆盖问题

题目：给n个闭区间[ai,bi]，选择尽量少的区间覆盖一条指定的线段区间[s,t]。

思路：按照ai<ai+1<ai+2<...<ai+n排序。开始，我们选择覆盖s点中的区间，右端点最大的区间，更新s点为所选区间右端点。//这个的实现我要花较多时间调...

证明：这个比较显然吧！

 

模型4：流水作业调度问题

题目：...懒得填坑

思路：...懒得填坑

证明：...懒得填坑

 

模型5：带期限和罚款的单位时间任务调度

题目：有n个任务，每个任务都需要1个时间单位执行，任务i的截止时间di（1<=di<=n）表示要求任务i在时间di结束时必须完成，误时惩罚wi表示若任务i未在时间di结束之前完成，将导致wi的罚款。

            确定所有任务的执行顺序，使得惩罚最少。

思路：我们肯定希望wi大的先被完成，所以我们按照wi从小到大排序，开一个数组记录每一单位时间是否被占用，遇到每一个任务，尽量把当前任务放在靠近截止时间的位置，如果放不下就舍弃，可以用while实现就行了。其实还有一个小小的优化，即f[i]表示i之前的时间是否被占用，如果全部被占用，就没有必要while了，直接continue即可，这叫空间换时间？？

证明：可以用反证法。假设当前放法不是最优的，那么必然有一个任务J满足w[j]<=w[i]，i为已经安排的任务，任务j若是替代i，则明显不是最优的。

 

          综上所述：模型是死的，面对贪心题，应回想起各类模型，找与题目的联系，从模型入手，找到适合题意的贪心策略。