[HNOI2002]公交车路线（矩阵快速幂）题解

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2233

题目描述：

 

在长沙城新建的环城公路上一共有8个公交站，分别为A、B、C、D、E、F、G、H。公共汽车只能够在相邻的两个公交站之间运行，因此你从某一个公交站到另外一个公交站往往要换几次车，例如从公交站A到公交站D，你就至少需要换3次车。

 

 

Tiger的方向感极其糟糕，我们知道从公交站A到公交E只需要换4次车就可以到达，可是tiger却总共换了n次车，注意tiger一旦到达公交站E，他不会愚蠢到再去换车。现在希望你计算一下tiger有多少种可能的乘车方案。

输入输出格式

输入格式：

输入文件由bus.in读入，输入文件当中仅有一个正整数n(4<=n<=10000000)，表示tiger从公交车站A到公交车站E共换了n次车。

输出格式：

输出到文件bus.out。输出文件仅有一个正整数，由于方案数很大，请输出方案数除以 1000后的余数。

输入输出样例

输入样例#1： 

6

输出样例#1： 

8

解题思路：
一开始我没感觉跟矩阵有什么联系，
以前做的都是不需要转换一下的裸题，
后来发现其实有点floyd的思想。
做矩阵乘法的时候：
w[i][j]=(w[i][j]+(q[i][k]*e[k][j])%mod)%mod))，
可以理解为从i走到j的方案数，每次枚举1-n为中间点，
用乘法原理去更新w[i][j]的方案数，
这样一看就跟矩阵快速幂有联系了。
还有一个细节问题，就是不能从I 走到 5 再走到 J，
因为他走到5就不会离开了。
所以代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long int
using namespace std;
struct Mat{
  ll t[10][10];
}a,b;
ll n,mod=1000;
Mat Mul(Mat q,Mat e){
    Mat w;
    for(int i=1;i<=8;i++)
    for(int j=1;j<=8;j++)
    w.t[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=8;i++)
    for(int j=1;j<=8;j++)
    for(int k=1;k<=8;k++)
    if(k!=5)
    w.t[i][j]=(w.t[i][j]+(q.t[i][k]*e.t[k][j])%mod)%mod;
    return w;
}
void Pow(Mat c,ll p){
   while(p){
       if(p&1){
       b=Mul(b,c);
       }
       p>>=1;
       c=Mul(c,c);
   } 
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(register int i=1;i<=8;i++){
    a.t[i][i+1]=1;a.t[i+1][i]=1;
    b.t[i][i]=1;
    }
    a.t[8][9]=0;a.t[9][8]=0;
    a.t[1][8]=1;a.t[8][1]=1;
    Pow(a,n);
    printf("%lld",b.t[1][5]%mod);
}