线性代数的本质-06补充说明-非方阵

作为引言,视频作者说了一个特别重要的一个点,由于网格线保持平行并且等距分布,并且原点映射为自身,所以使得变换为线性变换.

• 三行两列的矩阵究竟代表着什么呢?

一个变换的矩阵是三行两列的,究竟能够代表什么呢?

1. 首先,由上节视频介绍可以知道,在三维空间中两个列向量张成的空间是一个过原点的二维平面.(但是仍旧是满秩的,因为列空间的维数与输入空间的维数相等.)
2. 几何意义上来讲,三行两列组成的矩阵是将二维空间映射到三维空间上.(矩阵有两列表明输入空间有两个基向量,三行表明每个基向量在变换后都用三个独立的坐标来描述)

• 两行三列的矩阵又代表什么呢?

1. 矩阵有三列表明原始空间有三个基向量,即原始空间是三维的.
2. 有两行则表明这三个基向量在变换后,都仅用两个坐标来描述,因此这是一个三维空间向二维空间的变换.

• 一行两列是什么样子的变换呢?

直观例子介绍,两个基向量向一维坐标轴横躺.

• 有趣的评论区

1. 受教了，怪不得列数大于行数的矩阵代表的线性方程组总是有无数解，原来是被降维压缩了，每一个低维平面上的向量都对应着输入高维空间中的无数向量，帅的嘞