线性代数的本质-05-行列式
看看作者是怎么引入行列式的，这个非常有趣。他说目前我们已经对线性变换有形象的理解了（向量的应用，矩阵的应用），那么接下来我们聊些什么呢？快速回忆了一下，线性空间中已经知道了向量表示（加法，数乘，基向量，线性组合，张成的空间），变换方法（引入矩阵，矩阵的乘法），那么还有什么是我需要知道的呢，展开想象还需要描述什么呢？其实，不是学了行列式，我还没猜到空间转换后的面积，体积也可以表示出来呢，那究竟要如何描述，或者如何表示呢。作者是这样描述的，在旋转变化时，有的空间向外拉伸，有的空间向内挤压，如何理解这种线性变换呢，并且如何测量变换究竟对空间进行了多少拉伸或者是挤压呢？OK，我们开始吧！
- 行列式
- 行列式的几何意义：描述特殊的缩放比例，即线性变换对面积产生改变的比例被成为这个变换的行列式。
Det(M1)=3，也就是它将一个区域的面积增加为原来的3倍。
Det(M2)=0，则说明它将整个平面压缩到一条线上，甚至是一个点上，此时平面内任何一个区域的面积均为0.（矩阵内向量成比例，产生降维，线性相关）
- 行列式值为负值的几何意义：与取向观念相关联，也就是空间发生了翻转，也即是类似的变换反转了空间取向。
判断规则，可以利用基向量，ihat与jhat来判断，通常来说ihat位于jhat的左侧，当发生反转时ihat位于jhat的右侧。
举例说明，det(M3)=-3，说明发生线性变换后空间发生了反转，并且面积被拉伸扩大为原来的3倍。
- 负的面积为什么与取向翻转相关？
视频作者举例非常形象，考虑ihat与jhat在线性变换过程中，ihat将无限逼近于jhat，此时空间被严重压缩逐渐逼近于0，当ihat继续沿着这个方向运动，行列式继续减小为负值。
- 三维行列式，将如何理解呢？
三维行列式可以简单看作平行六面体的体积。行列式为零，则可以看作平行六面体的体积被压缩为一个平面或一条直线，极端情况下被压缩为一个点。
- 三维行列式，翻转取向？
右手法则，食指指向ihat,中指指向jhat,拇指指向zhat。
- 行列式的运算规则
a表示ihat的缩放比例，d表示jhat的缩放比例。若b, c项为零，ad表示的是单位正方形伸缩后形成的矩形的面积。
当b, c项均不为零时，bc所描述的时平行四边形在对角方向上拉伸或压缩了多少。
- det(M1M2)=det(M1)det(M2)
这个地方其实并不理解，自己的某些概念可能有误解，困顿的地方是在二维空间中det(M1M2)是复合线性的面积，而det(M1)det(M2)是两个面积分别相乘，等等。。。好像看到了一丝光明，难道是先求得det(M2)的面积而后det(M1)在M2的基础上做了线性变换，NONO第2部分并没有做线性变换，行列式的本质，描述单位空间内的伸缩变换比例，那么复合变换后得到的伸缩变换比例和一张一缩的变换比例是完全相同的，第二部分只是分为两个步骤。所以仅仅理解为面积是不合适的，理解为伸缩变换比例就通透了。
- 有意思的弹幕与评论区
- 三维的正负号不足以描述全部的卷曲变换方向
留坑。。。
