线性代数的本质-04-矩阵乘法与线性变换复合

回顾上个视频，主要内容为线性变换。包括3部分内容：1. 严格意义，线性变换是将向量作为输入和输出的一类函数。2.直观理解，线性变换看作是对空间的挤压伸展，同时保持网格线平行且等距分布并且原点不变。3.基本关键点，线性变换完全决定于基向量变换前后所处的空间。补充说明：整个空间经过线性变换后，向量与基向量对应的线性组合方式不发生改变（线性变换后，网格线平行等距不离开原点决定的，始终保持相似的对应关系）。

•  复合变换

• 两个矩阵的相乘的几何意义：两个线性变换的相继作用。
• 运算顺序：由右向左读，对应为函数的记号，函数通常写在变量的左侧。
• 计算过程：

　　例如：M₂*M₁，首先找到经过M₁的线性变换后基向量i移动到何处，进一步经过M₂的线性变换基向量i最终处于何处。类比，基向量j。关键点在于，寻找变换后的基向量是理解复合变换的重点。

• M₂*M₁=M₁*M₂？？？

 

撇去基本代数知识，如何理解其不相等呢？简单例子，先旋转后剪切与先剪切后旋转，所造成改变的基变量并不相同。

 

• （AB）C=A（BC）？？？

 

视频作者提示，利用变换相继的思想去考虑矩阵乘积。受上一个性质的迷惑，担心计算先后顺序会改变基向量的变化，那么深入思考。若矩阵变化次序不发生颠倒，始终保持从右向左的顺序，那么旋转与剪切的次序不会发生改变，继而不用担心旋转剪切混乱现象的发生，换句话说，上一等式始终沿着保持着旋转剪切的先后次序，仅仅是率先发生复合变换而以，所以不会产生实质影响。

 

• 评论区有意思的讨论

• M1*M2≠M2*M1，顺序变，结果变，为什么用结合律时结果又不变了呢？

　　有一位同学的回复是：交换律不满足是因为左乘右乘进行的变换不一样，交换之后向量表示的坐标也变了，所以不能交换。结合律没有变，只是先伸缩或者放大的关系。

　　对于这种看法，一开始我的直觉是虽然左右乘颠倒，但是对于基向量都进行了一样的旋转和剪切，应该相等才对。但是看了视频介绍发现，旋转和剪切的先后顺序决定性的改变了基向量的走向，换句话说，一个旋转就可能让基向量逃避掉它所该遭遇的剪切。这也就是直观上交换律不应该被满足的原因。进而看到下一个结合率，紧接着开始怀疑它是否被满足，经过仔细思考会发现，结合率并没有让基向量逃掉任何一个必须经历的变换，只是让某些变换先发生而以，但是结果是注定不会改变的，因为始终保持从右向左的顺序。

• 某一个同学的陈述，有趣。

　第一次变化的时候，原始的 i hat和 j hat发生的变化，在第二次变化的时候，原始的 i hat和 j hat是分别作为了向量，跟随第二次中又客观存在的 i hat和 j hat进行变化。此时可以说（第二次变化基于第一次），但并不能理解为，第二次的坐标轴变化顺延于第一次。实际上，第二次的坐标轴是全新的，新的坐标轴再次扭曲，将旧的坐标轴扭曲的更加厉害。这样理解会清晰一些。补充一下，这也是为什么矩阵交换计算不行，相当于中间变量会出问题，大部分情况下中间变量出了问题第二次变化除非有特殊情况才能填坑成一样的结果。这位同学理解的中间变量，我想理解为整体基础空间的不同，导致变化效果是不相同的，因为已经不能理解成为标准空间。