普利姆算法的正确性证明

已知条件：

图p是一个连通图，Y是对p使用prim算法得到的一棵生成树，Y1是p的一棵最小生成树

1.若Y=Y1，显然prim算法是正确的

2.若Y≠Y1，可进行如下推导：

a）Y中有n（n≥1）条边不存在于Y1中，在构建Y的过程中，第一次遇到这样的一条边时（以e表示），则e的一个端点u落在V内(V是之前的prim运算得到的一个子顶点集)，另一个端点v落在V外

b）Y1是连通的，故Y1中存在u到v的一条的路径，此路径上必然存在一条边f，它的一个端点落在V内，另一个端点落在V外

c）把e加入Y1，去掉f，Y1仍然连通，根据prim算法，权值W(f)≥W(e)，否则e不会被选入V，如果W(f)>W(e),新构建的树的权值和会比Y1小，而Y1是最小生成树，因此W(f)>W(e)不成立，得W(f)=W(e)

d）对每一条类似e的边，重复过程c），最终Y和重新构建的的Y1拥有的边完全一致，新构建的Y1也是最小生成树，因此Y也是最小生成树，证明prim算法正确