密码学之ElGamal 数字签名 密钥产生 数字签名 验证 python实现
ElGamal 数字签名
实验目的
- 通过实验了解数字签名的过程（签名过程和认证过程），掌握 ElGamal签名方案。
实验原理
ElGamal 数字签名的实现过程
1密钥产生:Alice 要对一个消息签名。
- 她选择一个大素数 p 和一个本原根g。选择一个秘密整数\(1\leq x \leq p-2\)，并且计算\(y\equiv g^x \mod p\), \((p,g,y)\)公开。x 秘密保存。
- 使得\(a^m\equiv1 \mod p\)成立的最小正幂m满足\(m=\varphi(p)\),则称a是p的本原根。
- 注：ElGamal 签名方案的安全性在于 x 的保密性。由于离散对数问题难解，很难由(p,g,y)确定 x.
2数字签名:Alice 签署消息 m
- 选择一个安全的随机数 k, 使得 \(gcd(k,p-1)=1\);
- 计算 \(r \equiv g^k \mod p\);
- 计算 \(s \equiv k^{-1} (m-xr)\mod (p-1)\);
- Alice 签署的消息是三元组\((m,r,s)\);
3验证:Bob 确认签名
-
下载 Alice 的公钥\((p,g,y)\)；
-
计算 \(v1 \equiv y^rr^s \mod p\)和 \(v2 \equiv g^m \mod p\)；
-
当且仅当 \(v1 \equiv v2 \mod p\)时，签名是有效的。
实验内容
代码仓库：https://github.com/SKPrimin/HomeWork/tree/main/Cryptology/05DiscreteLogarithm
ElGamal 数字签名
生成各自的密钥（注意素数 p 的选择，及 p 的本原根的选择），并公布公钥\((p,g,y)\)，A 和 B 之间约定签署的消息 m，A 署消息 m，将三元组\((m,r,s)\)发给 B，B 验证签名。
1密钥产生
import random
def gcd(a: int, b: int):
"""欧几里得算法求最大公约数"""
while a != 0:
a, b = b % a, a
return b
def euler(n):
"""欧拉函数"""
# 如果n是质数直接返回n-1
if (n, 1) == 1:
return n - 1
m = 0
for i in range(n):
if gcd(i, n) == 1:
m += 1
return m
def getFirstPrimitiveRoot(p):
"""算出第一个本原根"""
# 得到欧拉函数值m
euler_n = euler(p)
# 双循环
for a in range(2, p):
for m in range(2, p):
# 第一个m满足a^m = 1 mod p 同时m = euler_n则a为第一个本原根
if pow(a, m, p) == 1:
# 如果最小的正幂a不为欧拉函数，进行下一轮循环
if m == euler_n:
return a
else:
break
return False
def getAllPrimitiveRoot(p, first):
primitiveRoot = []
for i in range(p):
# 若 i与p互素，即i是 p-1的简化剩余系一员
if gcd(i, p - 1) == 1:
# 将 原根 加入列表
primitiveRoot.append(pow(first, i, p))
return primitiveRoot
if __name__ == '__main__':
p = 41
firstp = getFirstPrimitiveRoot(p)
pR = getAllPrimitiveRoot(p, firstp)
print(pR)
# 随机选择一个本原根g
g = pR[random.randint(0, len(pR) - 1)]
# 随机生成一个 x
x = random.randint(1, p - 2)
# 计算出 y = g^x mod p
y = pow(g, x, p)
print(f"公开(p,g,y)：{(p, g, y)}")
print(f"秘密保存x ：{x}")
2数字签名
import random
# 第一步公开的信息
p, g = 521, 186
# 秘密保存的x
x = 401
# 签署的信息m
m = 1914168
def gcd(a: int, b: int):
"""欧几里得算法求最大公约数"""
while a != 0:
a, b = b % a, a
return b
# 选择k 使得 gcd(k,p-1)=1
while True:
k = random.randint(0, p - 1)
if gcd(k, p - 1) == 1:
break
# 计算 r = g^k mod p
r = pow(g, k, p)
# 求 k^-1
# 扩展欧几里得算法求逆 ki即为最终需要的逆元
ai, bi = k, p - 1
ki, ti, xi, yi = 1, 0, 0, 1 # 初始化s,t,x2,y2
while bi:
qi, ri = divmod(ai, bi)
ai, bi = bi, ri # 求最大公约数
ki, ti, xi, yi = xi, yi, ki - qi * xi, ti - qi * yi # 辗转相除
# s = k^{-1} * (m-xr) mod (p-1)
s = ki * (m - x * r) % (p - 1)
print(f"Alice签署的消息(m,r,s)：{(m, r, s)}")
3验证
# Alice 的公钥
p, g, y = 41, 11, 10
# Alice签署的消息
m, r, s = 168, 13, 0
# 计算 v1 v2 并比较
v1 = pow(y, r, p) * pow(r, s, p) % p
v2 = pow(g, m, p)
print(f"v1:{v1},v2:{v2}")
if v1 == v2:
print("验证成功，签名有效")
