FFT 精度误差分析

可能写的有错的，也可能没有，大家看着当个乐子就好。

FFT 是 oi 中常用的一种算法，但是我们没有关心过它的精度，所以我们现在来关心一下。

我们知道对于一个长度为 \(n\) 的向量 \(\alpha\)，我们对它做 DFT，相当于左乘了一个正交矩阵 \(T\)（我们知道常规的 DFT 中做的不是标准的正交变换，但是如果每轮后将所有数除以 \(\sqrt{2}\) 就是了，因此下文中都以这种方式分析)

正交矩阵有着很好的性质，就是它相当于一个旋转，即：\(||\alpha||_2 = ||T \alpha||_2\)，因此，我们考虑从 \(L_2-norm\) 入手分析误差。

我们的 \(DFT\) 算法可以看成很多步骤，每次蝴蝶变换都相当于乘上一个正交矩阵 \(M_i\)，我们要乘 \(m=\log_2(n)\) 个正交矩阵，即 \(T=\prod_{i=1}^m m_{m+1-i}\)。

因此

\[T \alpha=M_m \cdots M_2 M_1 \alpha \]

但是我们知道，每一轮蝴蝶变换都会引入新的误差，我们用 DFT 表示计算机中的函数，因此，在计算机运算中，我们可以用这一个式子精确表示结果：

\[DFT(\alpha) = M_m(\cdots M_2 (M_1 \alpha + \epsilon_1)+ \epsilon_2)\cdots) + \epsilon_m \]

我们现在来分析一下 \(\epsilon_1\) 的精度，我们不妨假设 \(||\alpha||_2 \leq 1\)（利用浮点数的性质，我们可以进行放缩）。

我们容易分析出 \(||\epsilon_1||_2 = O(\epsilon)\)，其中 \(\epsilon\) 是机器浮点数所保证的精度。

由三角不等式 \(||\alpha + \beta||_2 \leq ||\alpha||_2 + ||\beta||_2\)，我们可以轻松得到 \(||\epsilon_i||_2 = O(\epsilon)\)，\(||DFT(\alpha) - T\alpha||_2=O(\log_2 n \epsilon)\)

我们就分析出了 DFT 的精度误差，卷积的精度误差留作练习（没啥区别）。