谈谈数学

    最近整理些东西，鬼使神差想起“数学是怎样一步步脱离大众”这一问题。数学一开始还是很接地气的。像讨价还价、投机倒把等日常活动都离不开一些数学计算。其实，不仅限于数学，其他领域应该也是如此，从现实起步，慢慢地发展到无法直视的哲学高度去了。

    数学的很多概念并没有人们想像地那么难以理解。很多困难主要源于这些概念用自然语言很难直接明了地表述出来；而如果严谨地表述或者换用数学语言来表达，则文字本身会变的很难读懂。

    由于小学时所受教育产生的思维惯性，我有段时间一直以为只有三角形和圆及其组合可以计算面积。所以当我发现微积分竟然能用来计算抛物线下方围成的面积时，我惊其为外星科技。其实微积分的原理是很简单易懂的。微积分一般被认为是牛顿和莱布尼兹所创立。但其实更早的时候就有人用微积分的原理进行计算了。据说那人想要计算一个酒桶的体积——大概是那种中间胖两端廋的酒桶，不能直接用圆柱体公式计算。他想了个方法，把酒桶横着切片。当这些片儿切得很薄时，可以近似地认为每个片儿是个很扁的圆柱体。把这些圆柱体的体积加起来就得到原来酒桶的体积了。当然还有另一种方法，就是把酒桶扔进盛满水的水缸，也就是排水法。但那是物理学家的做法，当一个数学家要计算酒桶的体积时，这个世界除了酒桶以外，其他诸如水、水缸，以及酒桶切片后还能不能装酒和酒桶片装订起来后体积会不会变化等问题都是不存在的。

    微积分由牛顿和莱布尼兹所创立，这话听起来好像是这两位合作创立了微积分。事实上他们俩独立发明了微积分，并为“谁才是微积分的创始人”这一问题争论不休。而其他没有发明微积分的人则在“微积分到底是不是正确的”这一问题上和这俩争论不休。微积分正确性的争议主要来自极限的定义。当时是这么（大概）定义序列Xn趋向于A的：

当n越来越大的时候，Xn无限接近A。

    这句话看似简单易懂但其实有很多不严谨的地方比如说“无限接近”这种暧昧的说法算怎么回事？到底是相等还是不相等明说啊。关于这个问题两位创始人也答不上来。虽然争议颇多，但微积分实在太好用了以至于工程师们像吸毒似的完全停不下来地广泛使用微积分。应用让一门技术得到推广，而质疑让它得以发展。几十年后柯西、维尔斯特拉斯总算捣鼓出怎么正确地描述极限了。我们姑且瞅瞅怎么说的：

对于一个任意小的正数e，存在一个整数N，使得当n大于N时，Xn与A的距离（差的绝对值）小于e。

    “任意”、“存在”、“当”这三个词的连续使用注定了这段话所描述的几个对象间的逻辑关系就像三角恋一样纠结。阅读这段话的难度我想大概类似于语文经常不及格的我读古文的难度，或者英语一直差点挂科的我读英文原著的难度。

    故事还没结束。再后来，数学里兴起了一门叫做数理逻辑（莱布尼兹所创立）的分支。数理逻辑，研究的就是数学家如何研究数学（包括数理逻辑）这一过程。数理逻辑学家是数学界的哲人王，他们想要创造一套专门给数学用的统一的纯数学语言，以达到书同文的目的。于是，极限定义变成了这样（由于包含了太多特殊字符所以我不得不用TeX编辑）：

\[\forall e > 0 (\exists N \in \mathbb{N}(n > N \rightarrow |X_n – A| < e))\]

    如果说前面还是古文级难度，那么这个就是甲骨文难度，或者西夏文难度。有没有人他妈的给我翻译翻译他妈的这句话到底他妈的是什么意思！客观上讲，虽然看上去像道士画符，但它的优点在于不含多余的语言（不像我这么话唠），简洁得像赤裸裸的真理。简洁对于数学也是很重要的，因为数学论文可能会意外的长。传说有篇论文有这么几个字：“根据定理157767733443477”。我猜“定理157767733443477”指的是这篇论文提出的第157767733443477个定理。

    从三种对极限的定义可以看到，可读性和准确性就像翘翘板的两端，一端高了另一端就低；又像测不准原理里的坐标量和动量，不能同时测准。总之是鱼和熊掌不可兼得。

    扯了这么多，我想说的是，与其说数学难，不如说数学专——术业有专攻的“专”。如果一个人数学好，就认为那个人脑袋好，就好像外国人认为如果一个人是中国人，那么这个人肯定会功夫。不好意思，我不会功夫。（侦探小说诺克斯十诫有一条说小说里不能出现中国人，因为他认为中国人会用隔山打牛的功夫制造出无法破解的完美密室杀人事件。）