7月28日学习日记

• 基础字符串算法：

• 哈希

• 使用一个哈希函数将某个特定的数字变成另一个数字，这种操作称之为hash。

• 通常我们会以取模运算来作为哈希函数。

• 举例：hash(key)=key%23, 这样数组 [1,75,324] -> [1,6,2]

• 如果哈希后得到的值相同，我们则可用该值建一个链表，把相同的值都放一起，

这样我们就可以得到一个哈希表。

• 可以采用meet in the middle 策略：

• 一边枚举x1,x2

• 一边枚举x4,x3.

• 具体是：先枚举x1,x2,算出 P-ax1-bx2的值，存入哈希表，注意要统计次数。

• 然后枚举x3,x4，算出cx3+dx4，看它在哈希表里出现了几次。

• 时间复杂度O(n^2)

• KMP算法

• 一个字符串S的Border：最大的i<|S|满足S[1…i]=S[|S|-i+1…|S|]，即最长的

前缀满足它同时是一个后缀

• 定义fail(i)为S[1…i]的Border。定义fail(1)=0。

• 算法过程如下：

• (1)如果当前能匹配则直接匹配

• (2)不能匹配则跳fail，重复(1)

• (3)如果跳不了fail则将匹配位置置为开头。注意到fail是最长的满足开头一

段等于末尾一段的，所以这个算法是正确的。

• 扩展kmp

• 我们发现如果 S=T，那么 extend 数组就是 Z 数组。

假设我们现在已经遍历到 S[i], 且 S[1]...S[i-1]都算出来了。

与 Z 算法类似，我们维护两个变量 l 和 r，r 表示能和 T 匹配到的最右边的位

置，l 为 r 对应的起始位置。

• Manacher算法

• 对于一个字符串S，如何计算出它的所有回文串？

• 首先在所有字符前后加入特殊字符#。这样我们就只需考虑由某个字符为

中心的回文串长度。如aab#a#a#b#

• 算法过程如下：记len(i)为以字符i为中心能拓展多少层，一个字符记做0层

。

• (1)计算max(len(i)+i)，记做mx；以及对应的i，记做id

• (2)每次从min(len[2*id-i],mx-i)

开始暴力拓展。

我们只需要统计出以 i 为起点的回文串个数 st[i] 和以 i 为终点的回文串个数

ed[i]. 那只需要计算:

 

 

在 manacher 算法过程中，对于每个 i 求出 r[i] 后。我们就需要把当前极大回

文子串 [i-r[i], i+r[i]] 对 st 和 ed 的贡献算进去。

对于 st: [i-r[i], i] 这些点每个位置都 +1.

对于 ed: [i, i+r[i]] 这些点的每个位置 +1.

可以用差分转化为单点修改。

最后总的对数-不想交的对数即是答案

• Trie树

• 首先允许自己异或自己以及a[i]^a[j]和a[j]^a[i]看作两对，k变成2k+n，好处是

可以把每个数字看作A，然后和a[1]~a[n]异或，最后统计。

• 考虑对于A如何直到和a[1]~a[n]异或出来的前k小，显然建Trie跑一跑就可以

了。而且显然是可以依次直到第1小，第2小，第3小……

• 那么类似那个求a[i]+b[j]的第k小的做法，直接用一个堆维护即可。

• AC自动机

• 考虑把S放到一块建类似nxt一样的东西（在AC自动机中叫fail指针）

• 先将S建Trie，考虑在Trie上运行T。

• 当遇到无法匹配的情况时，希望找到T已匹配部分的一个最长后缀，使得这

个后缀也是某个S的前缀。注意这里实际上和T无关，我们只需要对Trie上每

个节点对应的字符串做这件事情即可。

• 换句话说，我们要对每个点找到其最长后缀也是某个S的前缀，而S的前缀必

然对应Trie上一个点，或者说我们需要找到一个失配节点(fail)。