【机房练习赛 5.5】 atm 自动取款机

题面

题目描述

小沈阳在小品里说过：“人生最痛苦的事情是人死了，钱还没花了”。
于是小宋（80 岁）决定要将所有的储蓄从ATM 机中取出花光。小宋忘记了她有多少存款
（银行卡密码她是记得的2333），这个奇怪的ATM 不支持查询存款余额功能。小宋知道她
存款的唯一信息是存款上限是 \(K\)元，这意味着小宋的存款 \(x\) 是 \(0\) 到 \(K\) 之间的随机整数（包括 \(K\)）。
每次小宋都可以尝试从ATM 中拿出一些钱。如果她要取的y 元钱不大于她的存款，ATM 将立即给小宋 \(y\) 元。但如果她的存款小于 \(y\)，小宋将收到ATM 的警告。
如果小宋被警告超过 \(w\) 次，那么她将被警方带走，作为小偷。
小宋希望取钱次数期望最小。
由于小宋聪明，她总是采取最好的策略。
请计算小宋将所有储蓄从自动取款机中取出期望次数最小值是多少，并不得被警方带走。

输入样例

每个测试点包含多组测试数据（最多\(10\) 组）
每组测试数据包含两个整数 \(K\),\(W\)。
\(1 \leq K,W \leq 2000\)

1 1
4 2
20 3

输出样例

对于每组测试数据输出取钱次数最小的期望值，舍入到小数点后 \(6\) 位。

1.000000
2.400000
4.523810

然而她并不知道赵本山说了：“人生最最痛苦的事情是人活着呢钱没了”。。。
这是个悲伤的故事。

题解

虽然是道比较基础的期望 \(dp\)，但是对于 \(dp\) 很菜的我，只能傻傻的模拟手算打了个二分，快乐地爆了零。。。

状态

设 \(f[i][j]\) 表示存款的上限为 \(i\)，还可以被警告 \(j\) 次的取钱次数的期望。

阶段

当前的上限，还可以被警告的次数，此次取的钱的数量。

状态转移方程

写了博客之后终于搞懂了！！！

\[f[i][j] =min_{p}^{i}\ \frac{i - p + 1}{i + 1} \times f[i -p][j] + \frac{p}{i +1} \times f[p - 1][j - 1] \]

• 前一项表示没有猜大。因为没有猜大的话，就会从中取出 \(p\) 元，且不会被警告，所以之后还要在上限为 \(i - p\) 的存款中继续取，所以前一项的状态是 \(f[i -p][j]\)，根据期望的性质，还要再乘上概率 \(\frac{i - p + 1}{i + 1}\)，加一是因为包含 \(0\)，表示期望在剩余的上限为 \(i - p\) 的钱里继续取。
• 后一项表示猜大了。由此就可以确定剩余钱数的范围在 \(0\) ~ \(p- 1\) 的范围内，但会被警告一次，所以之后在上限为 \(p - 1\) 的钱数里继续取，但只剩下 \(j - 1\) 次机会，再乘上概率 \(\frac{p}{i +1}\)。

初始化

\[f[0][j] = 0 \]

\[f[i][0] = INF(进去了。。。) \]

优化

因为小宋很聪明，他不会傻傻的跑一个 \(O(k^2w)\)，所以他会每次二分的选，所以最多被警告 \(O(logk)\) 次，所以超过 \(log(k)\) 次的期望其实都是一样的，所以总时间复杂度是 \(O(k^2logk + t)\) 。

代码如下

注意多测！可以直接预处理出所有的答案，然后 \(O(1)\) 回答。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using std::min;
const int N = 2e3 + 5;
int k,m;
double f[N][12];
int main() {
	freopen("atm.in","r",stdin);
	freopen("atm.out","w",stdout);
	for(int i = 0; i < N; i++) f[i][0] = 1e9;
	for(int i = 0; i <= 11; i++) f[0][i] = 0;
	for(int i = 1; i < N; i++)
		for(int j = 1; j <= 11; j++) {
			f[i][j] = 1e9;
			for(int p = 1; p <= i; p++) 
			f[i][j] = min(f[i][j],1.0 * (i - p + 1) / (i + 1) * f[i - p][j] + 1.0 * p / (i + 1) * f[p - 1][j - 1] + 1);	
		}
		
	while(~scanf("%d%d",&k,&m))
		printf("%.6lf\n",f[k][min(m,11)]);
	return 0;
}