容斥原理 证明

Intro

容斥原理是表示集合元素个数之间的关系

公式如下：

$$|\bigcup _{i=1}^n(A_i)|=\sum _{i=1}^n|A_i|-\sum _{i<j}|A_i{A}_j|+\sum _{i<j<k}|A_i{A}_j{A}_k|-...+(-1{)}^{n-1}|A_1{A}_2...A_n|$$

其中，$|A_n|$表示集合$A_n$的元素个数

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证明思路：

每个元素$a$在$|\bigcup _{i=1}^n(A_i)|$中的个数只算作一次，只要证明某元素$a\in A$在右侧的个数只算作一次即可。

证明：

设元素$a$包含在$k$个集合中出现

在右边公式第一项里，只要在该$k$个集合中某一个出现，就会计数一次，因此为$k={\mathrm{C}}_k^1$

在右边公式第二项里，其为两个集合的交集，因此必须挑出该$k$个集合中的两个，其组成的交集才会计数一次，因此为${\mathrm{C}}_k^2$

同理，第三项，其为三个集合的交集，因此必须在该$k$个集合中三个的交集组合，才会被计数一次，因此为${\mathrm{C}}_k^3$

以此类推，在右边计数次数为${\mathrm{C}}_k^1-{\mathrm{C}}_k^2+{\mathrm{C}}_k^3-{\mathrm{C}}_k^4+...+(-1{)}^{n-1}{\mathrm{C}}_k^k=\sum _{i=0}^k(-1{)}^{i+1}{\mathrm{C}}_k^i+1=1$

即证

$$|\bigcup _{i=1}^n(A_i)|=\sum _{i=1}^n|A_i|-\sum _{i<j}|A_i{A}_j|+\sum _{i<j<k}|A_i{A}_j{A}_k|-...+(-1{)}^{n-1}|A_1{A}_2...A_n|$$

其中，$|A_n|$表示集合$A_n$的元素个数

应用

错位排列

聚会上，n位同学将各自的名片放到桌子上，再将名片打乱后随机分配给这些同学，有多少种方式使他们中没有人能够拿到自己的名片？

首先需要对题目进行翻译，即相当于名片原来放在桌子上排成一列，现重新打乱顺序，而且要求新的顺序和旧的顺序没有一个重叠，即没有一个位置和原来是一样的。 不妨设$|A_i|$为第$i$个名片是在原来位置上的排列

则本题目等价于求解$|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cdots \cap \overline{A_n}|=|\overline{A_1\cup A_2\cdots \cup A_n}|$
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