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[OI学习笔记]树状数组

背景

  花了一个上午,终于把树状数组弄懂了。。。

  打了三种树状数组的模板:树状数组单点更新区间查询,线段树区间更新单点查询,树状数组区间更新区间查询。

  第三种太毒了,,,好久才明白

 树状数组

  就是树一样的数组,它的底层实现其实就是一个数组,但是我们把它yy成了一棵树。。。

  

  他的每一列的最顶端有一个元素,而其他位置都是我们yy出来的,他在程序中并不会出现,每一个非叶子节点都是他两个子节点储存信息的综合(可以是和,乘积或最大值等等)。

  树状数组用来求前缀和,如果你想求任意的区间和则用两个前缀和只差即可

lowbit操作

  lowbit[i]定义为:点i所“支配”的叶子节点的个数

  怎么理解呢?比如说:上图中lowbit[2]=2,lowbit[4]=4,lowbit[7]=1(叶子节点算1)

  然后,我们惊人地发现:一个点的父节点和这个点的横向距离,一个点和他左边那个区间节点的横向距离,都是这个节点的lowbit!

  这样,我们就可以用lowbit很方便地从一个区间转移到另一个包含它的区间了!

  举个栗子:

  第一种:从1依次转移到2,4,8:

  

  第二种:从7依次转移到6,4:

  

  向右转移:在刚才第一种转移的过程中,我们可以完成用子节点更新父节点的值(刚才更新了1,2,4,8)

  向左转移:而在第二种转移中,可以完成对一段前缀和的统计(刚才统计的区间[1,7])

  那么,lowbit[i]怎么求呢?这里直接写一个结论:

          lowbit[i]=i&(-i)

单点更新区间查询

  这个比较简单,按照上面的方法结合lowbit公式一步一步转移即可

  代码:

#include<cstdio>
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;
const int MAXN=10010;

int c[MAXN],n,m;

void change(int x,int num){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        c[i]+=num;
    }
}

int ask(int x){
    if(x==0)return 0;//这个不最好加上
    int s=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        s+=c[i];
    }
    return s;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int temp;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&temp);
        change(i,temp);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int ques;
        scanf("%d",&ques);
        if(ques){
            int x,num;
            scanf("%d%d",&x,&num);
            change(x,num);
        }
        else{
            int left,right;
            scanf("%d%d",&left,&right);
            int s1=ask(right),s2=ask(left-1);
            printf("%d\n",s1-s2);
        }
    }
    return 0;
} 

 

区间更新单点查询

  区间更新这要记住:原序列用普通数组a存起,更新区间时跑向左转移,标记更新的数值(比如说加多少,乘多少,变成多少等等)

  (刚刚更改的范围是一个[1,y],如果你要更改[x,y]别忘记把前面不要的[1,x-1]部分减回来!!!)

  然后查询点时只要向右转移,按照刚刚打的标记更改即可。(是不是和线段树的lazytag有点像呢)

  以下是代码:

#include<cstdio>
#define lowbit(x) (x&(-x)) 
using namespace std;
const int MAXN=10010;

int a[MAXN],n,m,c[MAXN];

void change(int x,int num){
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        c[i]+=num;
    }
}

int ask(int x){
    int rxz=0;
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        rxz+=c[i];
    }
    return rxz+a[x];
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int ques;
        scanf("%d",&ques);
        if(ques){
            int left,right,num;
            scanf("%d%d%d",&left,&right,&num);
            change(right,num);
            change(left-1,-num);
        } 
        else{
            int x;
            scanf("%d",&x);
            printf("%d\n",ask(x));
        }
    }
    return 0; 
} 

 

区间更新区间查询

  这个有点难想。

  我们考虑原数列a的差分数组c

  

  差分数组有一个性质:差分数组跑一遍前缀和,得到原数组。

  可以得到:

  

  这样,岂不是可以用差分数组c[i]来表示a[i]?

  我们只要用一个额外的数组来存储就行了.

  编程时要注意初始化

  代码:(d数组为储存的数组)

#include<cstdio>
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
const int MAXN=10010;

int n,m,a[MAXN];
int c[MAXN],d[MAXN];//差分数组&数组d[i]=(i-1)c[i];

void changesection(int x,int num){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        c[i]+=num;
        d[i]+=(x-1)*num;
    }
}

int asksection(int x){//询问[1,x]前缀和 
    int s=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        s+=x*c[i]-d[i];
    }
    return s;
}

int main(){
    //freopen("in.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    //要初始化!!!
    for(int i=1;i<=n;i++)
        changesection(i,a[i]-a[i-1]);
    int ques;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d",&ques);
        if(ques){//change section
            int left,right,num;//区间[left,right],增量num 
            scanf("%d%d%d",&left,&right,&num);
            changesection(left,num);
            changesection(right+1,-num);
        }
        else{//ask section
            int left,right;
            scanf("%d%d",&left,&right);
            int s1=asksection(right),s2=asksection(left-1);
            printf("%d\n",s1-s2);
        }
    }
    return 0;
}

 

posted @ 2019-01-31 13:33  SHGEEK  阅读(526)  评论(1编辑  收藏  举报