7.以最小插入次数构造回文串

以最小插入次数构造回文串（难度：中等）

比如说如一个s="abcea"，算法返回2，插入两个字符="abecba"或者"aebcbea"。如果输入"aba" 那么返回0，本身就是回文串，无需操作

思路分析

	回文串一般都是字符串从中间向两端扩散，构造回文串也是类似的

dp数组定义

	上节课说了：字符串问题一般都是 二维dp
	dp[i][j]:对于字符串s[i...j]最少进行dp[i][j]次操作才能成文 回文串
	i----j ，定义的是区间

base case

	如果想求是整个s的最小插入次数，根据这个定义，也就是求dp[0][n-1]的大小
	同时 base case 也很容易想到，i==j时候，dp[i][j]==0，因为i==j时，s[i...j]就是一个字符，本身就是回文串，所以不需要进行任何操作

状态转移方程

	状态转移方程就是 从小规模的问题 推出 最终大问题的解的答案，从 base case 推导
	
	如果想要计算 dp[i][j]的值，而且假设已经计算出来了子问题dp[i+1][j-1](i,j因为是区间，在逐渐缩小)的值，能不能想办法推出 dp[i][j]？

一种情况 S[i]==s[j]

	if(s[i]==s[j]){  
		//因为已经是回文串了，缩小成子问题
		//i++ ;j--
		dp[i][j]=dp[i+1][j-1];  
	}

另一种情况 S[i]!=s[j]

	if(s[i]!=s[j]){  
		dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
	}

正常序列 x b a a b y
发现 x != y
将y插入到x的右边，x插入到y的右边,（实际没修改，只是记录步数）
两步操作，所以+2，然后继续处理 子问题 i+1和j-1的区间[i+1,j-1]

不对，比如下面的两种情况

		只需要插入一个就可以变成回文串

步骤1、做选择，先将s[i..j-1]或者s[i+1..j-1]变成回文串。

怎么做选择呢？

		谁变成回文串，插入的字符少，就选择谁.
		比如上面图2，s[i+1..j]变成回文串的代价小，因为本身就是回文串，根本不需要插入；同理，对于图3，将s[i..j-1]变成回文串的代码小
		然而，如果s[i+1..j]和s[i..j-1]都不是回文串，都至少需要插入一个字符才能变成回文串，所以选择那个都一样

怎么知道s[i+1..j]和s[i..j-1]哪个代价小呢？
回头看看dp数组的定义，不就是变成回文串的 代价吗？？？？所以 取min 就好啦

步骤2、根据步骤一的选择，将s[i..j]变成回文串

		如果在步骤1 中 选择把s[i+1..j]变成回文串，那么在s[i+1..j]右侧插入一个 s[i]一定可以将 s[i..j]变成回文的；
		同理；选择把s[i..j-1]变成回文串，那么在s[i..j-1]左侧插入一个 s[j]一定可以将 s[i..j]变成回文的，

一种情况 S[i]!=s[j]

	if(s[i]!=s[j]){  
		//步骤一选择代价小的
		//步骤二必然要进行一次插入
		dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j-1])+1;
	}

综合起来状态转移方程

	if(s[i]==s[j]){  
		//因为已经是回文串了，缩小成子问题 //i++ ;j--
		dp[i][j]=dp[i+1][j-1];  
	}
	if(s[i]!=s[j]){  
		//步骤一选择代价小的
		//步骤二必然要进行一次插入
		dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j-1])+1;
	}

完整代码如下

	//从下至上
	//从左至右
	略
	自己写