类欧几里得的一个方法
最近学到了一个牛逼的类欧推导方式,优点是好想好写缺点是常数大...
考虑把那条 \(\frac{ax+b}{c}\) 直线画出来,这条直线碰到一次直线 \(x = a\) 执行一次 \(A\) 操作,碰到一次直线 \(y = b\) 执行一次 \(B\) 操作,形成一个操作序列,这个算法的要求是这个序列可以快速合并(我遇到的题都满足)。
考虑函数 solve(p, q, r, n, A, B)
表示一共有 \(n\) 个 \(B\) 操作,第 \(i\) 个 \(B\) 操作前面共有 \(\lfloor \frac{pi+r}{q} \rfloor\) 个 \(A\) 操作,这样一个序列的答案。
首先 B = A * (p / q) + B, p = p % q, r = r % q
,\(p\) 的部分正确性显然, \(r\) 的部分等一下再说。
考虑第 \(x\) 个 \(A\) 和在它之后的第 \(y\) 个 \(B\):
\[\begin{aligned}
x &\le \lfloor \frac{py+r}{q} \rfloor\\
qx &\le py + r\\
\frac{qx-r}{p} &\le y\\
\lceil \frac{qx-r}{p} \rceil &\le y\\
\lfloor \frac{qx-r+p-1}{p} \rfloor &\le y
\end{aligned}
\]
于是第 \(i\) 个 \(A\) 前面共有 \(\lfloor \frac{qi-r-1}{p} \rfloor\) 个 \(B\)。
这个时候 \(-r - 1\) 是负数不太好搞,我们把它加上 \(q\),然后把第一个 \(A\) 拿出来单独处理(这是之前 r = r % q
的原因),注意最后的 \(B\) 也要特殊处理。
代码:
Solver euclid(LL p, LL q, LL r, LL l, const Solver &a, const Solver &b) {
r %= q;
if (!l) {
return Solver();
}
if (p >= q) {
return euclid(p % q, q, r, l, a, a * (p / q) + b);
}
LL m = (p * l + r) / q;
if (!m) {
return b * l;
}
LL cnt = l - (q * m - r - 1) / p;
return b * ((q - r - 1) / p) + a + euclid(q, p, q - r - 1, m - 1, b, a) + b * cnt;
}