类欧几里得的一个方法

最近学到了一个牛逼的类欧推导方式，优点是好想好写缺点是常数大...

考虑把那条 $\frac{ax+b}{c}$ 直线画出来，这条直线碰到一次直线 $x = a$ 执行一次 $A$ 操作，碰到一次直线 $y = b$ 执行一次 $B$ 操作，形成一个操作序列，这个算法的要求是这个序列可以快速合并（我遇到的题都满足）。

考虑函数 solve(p, q, r, n, A, B) 表示一共有 $n$ 个 $B$ 操作，第 $i$ 个 $B$ 操作前面共有 $\lfloor \frac{pi+r}{q} \rfloor$ 个 $A$ 操作，这样一个序列的答案。

首先 B = A * (p / q) + B, p = p % q, r = r % q，$p$ 的部分正确性显然， $r$ 的部分等一下再说。

考虑第 $x$ 个 $A$ 和在它之后的第 $y$ 个 $B$：

$$\begin{aligned} x &\le \lfloor \frac{py+r}{q} \rfloor\\ qx &\le py + r\\ \frac{qx-r}{p} &\le y\\ \lceil \frac{qx-r}{p} \rceil &\le y\\ \lfloor \frac{qx-r+p-1}{p} \rfloor &\le y \end{aligned}$$

于是第 $i$ 个 $A$ 前面共有 $\lfloor \frac{qi-r-1}{p} \rfloor$ 个 $B$。

这个时候 $-r - 1$ 是负数不太好搞，我们把它加上 $q$，然后把第一个 $A$ 拿出来单独处理（这是之前 r = r % q 的原因），注意最后的 $B$ 也要特殊处理。

代码：

Solver euclid(LL p, LL q, LL r, LL l, const Solver &a, const Solver &b) {
  r %= q;
  if (!l) {
    return Solver();
  }
  if (p >= q) {
    return euclid(p % q, q, r, l, a, a * (p / q) + b);
  }
  LL m = (p * l + r) / q;
  if (!m) {
    return b * l;
  }
  LL cnt = l - (q * m - r - 1) / p;
  return b * ((q - r - 1) / p) + a + euclid(q, p, q - r - 1, m - 1, b, a) + b * cnt;
}