347，猜数字大小 II

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我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：

我从 1 到 n 之间选择一个数字，你来猜我选了哪个数字。

每次你猜错了，我都会告诉你，我选的数字比你的大了或者小了。

然而，当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。直到你猜到我选的数字，你才算赢得了这个游戏。

示例:

n = 10, 我选择了8. 第一轮: 你猜我选择的数字是5，我会告诉你，我的数字更大一些，然后你需要支付5块。

第二轮: 你猜是7，我告诉你，我的数字更大一些，你支付7块。

第三轮: 你猜是9，我告诉你，我的数字更小一些，你支付9块。

游戏结束。8 就是我选的数字。

你最终要支付 5 + 7 + 9 = 21 块钱。

给定 n ≥ 1，计算你至少需要拥有多少现金才能确保你能赢得这个游戏。

答案：

public static int getMoneyAmount(int n) {
    return DP(1, n);
}

public static int DP(int left, int right) {
    if (left >= right)
        return 0;
    int res = Integer.MAX_VALUE;
    for (int i = left; i <= right; i++) {
        int tmp = i + Math.max(DP(left, i - 1), DP(i + 1, right));
        res = Math.min(res, tmp);
    }
    return res;
}

解析：

在数字1-n之间，假如我们选择了x，数组就会分成3个部分，[1,x-1]，x，[x+1,n]。那么会有3种情况，第一种我们选中了，所以这时候花费现金最少，第二种是我们选大了，第三种是我们选小了，用函数f（m,n）表示从数字m到n中所花费的最小金额，如果选择了在范围（i，j）中保证所花费最少（i<=x<=j），我们有下面这样一个公式。money=x+max(f(i，x-1)+f(x+1，j))；代码第10行我们找的是最大值，因为题目说了至少花费多钱现金才能赢得游戏，我们只需要找到所有的花费最大值中的最小值即可。但是上面代码效率明显不是很高，因为递归的原因会出现重复计算，我们只需要用一个临时数组存储每次计算的结果，防止重复计算即可，我们来优化一下

public static int getMoneyAmount(int n) {
    int[][] table = new int[n + 1][n + 1];
    return DP(table, 1, n);
}

public static int DP(int[][] table, int left, int right) {
    if (left >= right)
        return 0;
    if (table[left][right] != 0)
        return table[left][right];
    int res = Integer.MAX_VALUE;
    for (int i = left; i <= right; i++) {
        int tmp = i + Math.max(DP(table, left, i - 1), DP(table, i + 1, right));
        res = Math.min(res, tmp);
    }
    table[left][right] = res;
    return res;
}

除了递归的写法以外，我们还可以使用动态规划的方式解决，先看一下代码

public int getMoneyAmount(int n) {
    int[][] table = new int[n + 1][n + 1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int j = i - 1; j > 0; j--) {
            int globalMin = Integer.MAX_VALUE;
            for (int k = j + 1; k < i; k++) {
                int localMax = k + Math.max(table[j][k - 1], table[k + 1][i]);
                globalMin = Math.min(globalMin, localMax);
            }
            table[j][i] = j + 1 == i ? j : globalMin;
        }
    }
    return table[1][n];
}

前两个for循环会组成一个封闭的空间[j，i]，然后第3个for循环再从这个封闭的空间中找出所有花费最大值的最小值即可，这个最小值也只不过是在区间[j，i]之间的，然后通过外面两层的for循环最终会找出区间[1，n]的值。第10行表示如果j和i仅仅相差1的话，那么第3个for循环根本就不会执行，我们要猜最小的才能花费最少，所以选择j。下面来画个图加深一下理解

这里我们来举个例子简单说下，比如n等于5，为什么只需要6块钱就一定能赢得游戏，结合上面的分析，我们知道当我们先猜2，或者4的时候结果都是6，我们以先猜2来分析一下，

1， 如果选择的是1，我们猜2，说明大了，下一步直接猜1就行了，所以只花了2块钱。

2， 如果选择的是2，我们猜2，说明猜对了，一分没花。

3， 如果选择的是3，我们猜2，说明猜小了，下一步猜4，说明大了，在下一步直接猜3，猜对了，所以总共花了2+4=6块钱。

4， 如果选择的是4，我们猜2，说明猜小了，下一步猜4，猜中了，只花了2块钱。

5， 如果选择的是5，我们猜2，说明猜小了，下一步猜4，又小了，在下一步直接猜5，猜对了，所以总共花了2+4=6块钱。

综上所述，当n等于5的时候，我们只需要6块钱就一定能赢，

思考：

这题我估计很多人都听说过，或者看过类似的这种题，很多时候我们猜这样的题都喜欢从中间来猜，显然通过上面的分析，如果我们从中间猜不一定会有最优的结果，比如当n=5的时候，当我们选择4，或者5的时候，如果我们从中间来猜，先猜3，小了，再猜4，这时候无论是猜对了还是猜小了，所花费的肯定是大于6的，很明显不是最优解。