排序算法之快速排序

快速排序的思想：

　　分治法，将大问题分为若干个小的问题，解决小问题然后合成大问题的解

典型的快速排序的一般过程：

　　1、在数组中找到一个数，一般选作数组最后一个数作为中轴数X

　　2、以中轴数X作为中心，使用一次划分partition，使得中轴数左边的数都比X小，右边的数都比X大，换句话说经历过一次划分后，中轴数X处在它本来应该在的位置上

　　3、递归调用partition，最后使得整个数组有序

一次划分partition过程：

int partition(int data[],int start,int end){
    int i=start-1;   
    int j=start;
    int x=data[end];
    for(;j<end;j++){
        if(data[j]<x){
            ++i;
            exchange(data+i,data+j);
        }
    }
    exchange(data+i+1,data+end);
    return i+1;      //i标识的是数组中值小于X的最大下标，i+1即指一次划分后X所在的下标位置
}

 递归调用的过程：

void quicksort(int data[],int start,int end){
    if(start<end){
        int index=partition(data,start,end);
        quicksort(data,start,index-1);
        quicksort(data,index+1,end);
    }
}

注：函数的边界检查条件可以交付给上层调用函数来完成

 快速排序的时间复杂度分析：

　　上述为了简便说明，总是选取待排序数组的最后一个元素作为中轴数，假设一种极端的情况，待排数组已经有序或者元素值全部相同，进行一次partition划分后，中轴数左右两边的元素个数分别是N-1,0，即每经过一次划分，就仅仅将一个数组元素放置在它应该在的位置上，剩余的N-1个数还需要继续排序，每次划分的时间复杂度为遍历一次待排数组所消耗的时间O(n)

　　设整个排序的时间复杂度为T(n)，则最坏的情况下，T(n)=T(n-1)+T(0)+O(n)，可以递推得T(n)=O(n^2)

　　算法的最佳时间复杂度，在最理想的情况下，每次划分总是将待排数组均衡划分，即一次划分完成后，中轴数左右两边的元素个数都是(N-1)/2，则其总的时间复杂度

　　T(n)<=2*T(n/2)+O(n)，T(n)=O(nlgn)

　　算法的平均时间复杂度，T(n)=O(nlgn)，（任何一种按常数比例进行的划分都会产生深度为O(lgn)的递归树，每一层的时间复杂度为进行一次划分的时间O(n)，所以总的时间复杂度是O(nlgn)----算法导论），可以理解为，如果某一层的划分效果比较差，则该层下面的划分可能会比较好，好差划分随机的分布在递归树的各层，总的划分渐进于每层都是情况好的划分。

快速排序的稳定性：

　　由快排的三个过程可以知道，快排不是一种稳定的排序，例如[2,5,6,4(1),7,3,8,4(2)]，经历一次划分后，数组变为[2,3,4(2),4(1),7,5,8,6]，括号标识第1和第2个4.

快速排序的改进：

　　快速排序对于输入数组的随机性有要求，如果待排序的数组元素具有较大的随机性，则排序效果接近于基于比较的排序方法的下限O(nlgn)，如果输入的数组基本有序，则不适用于快速排序。

　　因此，对于待排序数组，可以给出快排的随机化版本，每次在划分之前，在数组中随机选择一个数T和数组中最后一个数X交换位置，交换过后调用上述partition函数，从而将随机选择的元素T作为中轴数，从而优化排序的性能。

参考资料：《算法导论》