LOJ #3405. 「2020-2021 集训队作业」Gem Island 2

题意就是有$n$个人，$d$天。
初始每个人有一个宝石。然后每天选一颗宝石复制一份。
问$d$天后，宝石数量前$r$大的人所拥有宝石数量总和的期望。
$1\le r\le n \le 1.5\times 10^7, 1 \le d \le 1.5\times 10^7$

首先考虑弱化版，$O(n^3)$的做法。
这需要一个转换：考虑一个最终状态$a_1,a_2 \dots a_n$。$a_i$表示这$d$天第$i$个人复制出来的宝石。
计算它出现的次数为$\binom{d}{a_i} \times \prod a_i!$
发现就是$d!$。那么所有$a$的概率都一样。
那么问题转换为计数$a$的个数（这个值就是$\binom{d+n-1}{n-1}$），并计算所有$a$中前$r$大的钻石数量。
这个可以用一个$\text{DP}$完成。
就是设$f[i][j]$表示有$j$个人为当前宝石数量并列最多，已经过了$i$天，在这个状态下的方案数。

下面考虑优化。用式子去表达答案。
就是$\sum\limits_{i=1}^{n} \min(i,r) \sum\limits_{j=1}^{d} F_{i,j}$
设$F_{i,j}$表示恰好有$i$个人至少有$j$个钻石。
这个$F$显然可以用二项式反演。
设$G_{i,j}$表示至少有$i$个人至少有$j$个钻石。
那么$G_{i,j}=\binom{n}{i}\binom{d-i*j+n-1}{n-1}$
反演得$F_{i,j}=\sum\limits_{k=i}^{n} (-1)^{k-i}\binom{k}{i}G_{k,j}$
把$G,F$都带入到原式可得：
$\sum\limits_{i=1}^{n} \min(i,r) \sum\limits_{j=1}^{d} \sum\limits_{k=i}^{n} (-1)^{k-i}\binom{k}{i} \binom{n}{k}\binom{d-k*j+n-1}{n-1}$

整理可变成$\sum\limits_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \sum\limits_{i=1}^{k} (-1)^{k-i} \min(i,r) \binom{k}{i} \sum\limits_{j=1}^{d}\binom{d-k*j+n-1}{n-1}$

考虑设$Q_i$表示$\sum\limits_{i|j}^{d}\binom{d-j+n-1}{n-1}$，
设$P_i$表示$\sum\limits_{j=1}^{i} (-1)^{i-j} \min(j,r) \binom{i}{j}$

原始就变成了$\sum\limits_{k=1}^{n} \binom{n}{k} P_k Q_k$
显然$Q$是可以用高维前缀和$O(n\log\log n)$解决的。
注意：这里可以发现$Q$与原始不同，多了$j=0$情况。意义上就是把初始钻石也加上了。所以就不用在最后加$n$了。

然后瓶颈在于处理$P$
仍然考虑推式：
$\sum\limits_{j=1}^{i} (-1)^{i-j} \min(j,r) \binom{i}{j}$
$\sum\limits_{l=1}^{r}\sum\limits_{j=l}^{i} (-1)^{i-j} \binom{i}{j}$
由$\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}=0$可推得。
$-(-1)^i\sum\limits_{l=1}^{r}\sum\limits_{j=0}^{l-1} (-1)^{j} \binom{i}{j}$
类推上面等式，玩杨辉三角可推得
$(-1)^i\sum\limits_{l=1}^{r}(-1)^l\binom{i-1}{l-1}$
$-(-1)^i\sum\limits_{l=0}^{r-1}(-1)^{l}\binom{i-1}{l}$
$(-1)^{i+r}\binom{i-2}{r-1}$
所以$P_i=(-1)^{i+r}\binom{i-2}{r-1}$。预处理组合数后$O(1)$计算。
所以最大复杂度就是处理$Q$的$m\log\log m$，其他都是线性。