从本质出发推导三大坐标系下的三大方程（二）——散度方程

对于很多数学和工程问题，我们常常需要使用到梯度、散度和旋度方程，而有的时候，在使用这些方程时，我们却对它们其中的数学、物理意义不甚清楚，结果便是看着很多在此基础上建立的公式而一头雾水。这篇文章便从这三大方程的本质入手，推导它们在三大经典坐标系下的形式，揭露其”庐山真面目“！

 

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散度的意义

       维基百科对散度是这么定义的：

散度或称发散度，是向量分析中的一个向量算子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上。散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。

       例如，在空气动力学上，速度散度的物理意义是单位体积运动流体的体积变化率（参考安德森教授的《空气动力学基础》）。

       在定义向量场的散度前（散度是向量场独有的），首先要引入通量的概念。给定一个三维空间中的向量场\(\vec{A}\)以及一个简单有向曲面\(\vec{\Sigma}\)，则向量场\(\vec{ A}\)通过曲面\(\vec{\Sigma}\)的通量就是曲面每一点\(\vec{x}\)上的场向量\(\vec{A}(\vec{x})\)在曲面法向方向上的分量的积分:

\[\Phi_{\vec{A}}(\vec{x}) = \iint_{\Sigma}^{ }\vec{A}\cdot\vec{n}dS \]

其中\(dS\)是积分的面积元，\(\vec{n}\)是\(\vec{\Sigma}\)在点\((x,y,z)\)处的单位法向量。如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从里朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。

       通量描述了一固定区域（也就是 \(\vec{\Sigma}\)）上向量场的流通倾向，散度在某点的值则是这个性质的在这点的局部描述，也就是说，从散度在一点的值，我们可以看出向量场在这点附近到底倾向发散还是收敛。要算某一点\(（ x,y,z）\)处的散度，先求包含这一点的某一个封闭曲面 \(\vec{\Sigma}\)的通量 \(\Phi_{\vec{A}}(\vec{x})\)除以封闭曲面\(\vec{\Sigma}\)围起来的微小体元 \(\delta V\)的体积 （这个体积用 \(\left|\delta V\right|\)表示）得到的比值，矢量场\(\vec{A}\)在点 \((x,y,z)\)的散度即是这个比值在体积微元\(\delta V\)趋向于点\((x,y,z)\)时的极限。用数学公式表示即：

\[div\vec{A}(\vec{x}) = \lim_{\delta V\rightarrow {\vec{x}}}\oint_{\Sigma}^{ }\frac{\vec{A}\cdot \vec{n}}{\left|\delta V\right|}dS = \lim_{\delta V\rightarrow {\vec{x}}}\oint_{\Sigma}^{ }\frac{\Phi_{\vec{A}}(\vec{\Sigma})}{\left|\delta V\right|}dS \]

我们通常使用哈密顿算子来表示，则向量场的\(\vec{A}\)的散度记作：
\(\triangledown \cdot \vec{A}\) 。

       我们可以拿点电荷来举个例子：

图2.1 点电荷

    我们知道，电场强度（矢量）乘以面积（矢量）就是电通量，根据上面通量的定义，我们可以得到电通量其实就是电场强度的通量，那么，在某点处电场强度的散度就是当封闭曲面无限缩小到那个点上时通过这个无限小的封闭曲面的电通量。结合上图我们知，微元体1的外表面的电通量为0，而微元体2的外表面的电通量不为0，所以微元体1处的电场强度的散度为0，而微元体2处的电场强度的散度不为0。我们可以把电荷看成是一个水泵，而把电场强度看成是水，当封闭曲面内不包含“水泵”时，当然其内部的“水量”肯定不会变化（多少水流入就有有多少水流出），显然散度就为0了，反之，当其内包含“水泵”时，则其内的水量就会发生变化，此时散度就不会为0，并且这个“水泵”功率越大，则其内部水量变化越剧烈，散度的绝对值就越大，所以说，散度的物理意义是用来描述矢量场的强度的。

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笛卡尔坐标系下的散度公式

       笛卡尔坐标系下的散度公式的形式我们已经很熟悉了，但我们往往忘了它是怎么来的，我们的大脑早已把这个公式当成了公理，所以，这里我们就来回顾一下笛卡尔坐标系下散度公式是怎么来的。

       上面我们已经提到过利用散度公式，我们可以将一个封闭曲面的第二类曲面积分转化为这个封闭曲面包围区域的体积分，现在我们将这个封闭曲面缩的无穷小，这样我们就能将这个曲面包围的区域近似看成长方体（微元体可以看成任意形状，但看成长方体方便推导）。

图2.2 笛卡尔坐标下的微元体

       接下来我们来推导一下散度公式,我们假设这个空间内存在一个矢量场\(\vec{A}\),易知这个微元体的体积可以表示为\(dV = dxdydz\)。接下来，我们把目光聚焦于x方向上的通量，因为\(\vec{A}\)可以用\((A_{x},A_{y},A_{z})\)表示，同样，\(d\vec{S}\)可用\((S_{x},S_{y},S_{z})\)表示（注意：这里S的下标表示其对应面的外法线向量的方向），这样，我们便可以很轻松地得到x方向上的通量了：

• 通过ADHE的通量为\(A_{x} \cdot dydz\),通过BCGF的通量为\((A_{x}+dA_{x}) \cdot dydz\),则x方向上的通量为\((A_{x}+dA_{x}) \cdot dydz-A_{x} \cdot dydz = dA_{x} \cdot dydz\)
• 同理，y方向上的通量为：\(dA_{y} \cdot dxdz\)
• z方向上的通量为：\(dA_{z} \cdot dxdy\)

       我们回过头再看一下散度定义，我们现在已经求得了整个微元封闭曲面的通量，而且也知道了该封闭曲面所围成的体积，两者相除不就是我们需要的散度吗。

\[\triangledown \cdot \vec{A} = \frac{dA_{x} \cdot dydz+dA_{y} \cdot dxdz+dA_{z} \cdot dxdy}{dxdydz}=\frac{dA_{x}}{dx}+\frac{dA_{y}}{dy}+\frac{dA_{z}}{dz} = (\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})(A_{x},A_{y},A_{z}) \]

(ps:这里的x,y,z为独立坐标，所以偏导数和全导数是一致的)
       这样我们就推导得到了，我们所熟悉的笛卡尔坐标系下的散度公式：$$\triangledown \cdot \vec{A}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z} $$

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柱面坐标系下的散度公式

       柱面坐标系下的散度公式对大多数人来说就比较陌生了，但其推导过程与笛卡尔坐标系下完全一致，废话少说，开干：

图2.3 柱面坐标下的微元体

• \(\rho\)方向上的通量为\((A_{\rho}+dA_{\rho}) \cdot(\rho + d\rho)d\theta dz-A_{\rho} \cdot \rho d\theta dz\)
• \(\theta\)方向上的通量为：\((A_{\theta}+dA_{\theta}) \cdot d\rho dz-A_{\theta} \cdot d\rho dz=dA_{\theta} \cdot d\rho dz\)
• z方向上的通量为：\((A_{z}+dA_{z}) \cdot \rho d\rho d\theta-A_{z} \cdot \rho d\rho d\theta=dA_{z} \cdot \rho d\rho d\theta\)
• 并且，该微元体的体积为：\(dV=\rho d\rho d\theta dz\)

       接着，我们把通量加起来然后除以体积即可得到散度，这里\(\rho\)方向上通量除以体积稍微有点特殊，这里单独说一下。

\[\frac{(A_{\rho}+dA_{\rho}) \cdot(\rho + d\rho)d\theta dz-A_{\rho} \cdot \rho d\theta dz}{\rho d\rho d\theta dz}=\frac{(A_{\rho} \cdot \rho)_{\rho + d\rho}d\theta dz-(A_{\rho} \cdot \rho)_{\rho}d\theta dz}{\rho d\rho d\theta dz}=\frac{1}{\rho} \cdot \frac{d(\rho A_{\rho})}{d\rho} \]

       所以，在柱面坐标系下的散度公式为：

\[\triangledown \cdot \vec{A}=\frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial(\rho A_{\rho})}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho} \cdot \frac{\partial(A_{\theta})}{\partial\theta}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z} \]

 

球面坐标系下的散度公式

       经过上面两个坐标系的推导，我想球面坐标系散度公式的推导也就不在话下了（自己动下手吧，如果遇到困难可以在评论里留言）。

图2.4 球面坐标下的微元体

       这里我们直接放出球面坐标系下的散度公式：

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参考资料

1、维基百科——散度
2、高等数学（西工大版本）