真实海拔和虚拟海拔的关系

       我们知道重力加速度是随高度的变化而变化的，我们先来给出几个定义，真实的海拔我们称为几何海拔$h_{G}$，其对应的重力加速度为$g_{G}$，而重力加速度始终等于海平面处的重力加速度的高度为虚拟海拔$h_{g}$（假想出来的嘛），对应的重力加速度为$g$。我们在高中时就知道重力加速度的计算公式：$g = G\frac{M}{r^{2}}$，对于几何海拔对应的重力加速度就为：$g_{G} = G\frac{M}{(R+h_{G})^{2}}$，对于虚拟海拔对应的重力加速度为：$g = G\frac{M}{R^{2}}$，上面的两个式子中的R为地球半径。接下来，我们让一个物体上升一小段高度，该物体在几何海拔中和在虚拟海拔中增加的重力势能应该相等：$mg_{G}dh_{G}=mgdh_{g}$，也就是$g_{G}dh_{G}=gdh_{g}$，而$g_{G}$又和$g$存在关系$g = \frac{R^{2}}{(R+h_{G})^{2}}g_{G}$，代到上面那个式子中，经过化简可得：$dh_{g} = \frac{R^{2}}{(R+h_{G})^{2}}dh_{G}$，积分：$\int_{0}^{h_{g}}dh_{g} =\int_{0}^{h_{G}} \frac{R^{2}}{(R+h_{G})^{2}}dh_{G}$，我们很快可以推得$h_{g} = R-\frac{R^{2}}{R+h_{G}}$，至此，我们就已经推导出了真实海拔和虚拟海拔之间的关系了，知道真实海拔，我们就可以推算出虚拟海拔的大小，利用虚拟海拔，我们就可以肆无忌惮地将重力加速度看成是不变的，大大减少了我们的计算负担 ? 。