关于一类树上路径操作的通用做法（毛毛虫剖分）

问法：

每次给出一条路径 \(S=(u, v)\)，对所有 \(x\in S\) 的 \(x\) 进行某种操作，对所有 \(x \in S, y\notin S, (x, y) \in Tree\) 进行另外一种操作。

简单来说就是路径操作涉及到所有路径上点的子节点。

经 xgf 鸽鸽 提醒，这玩意有个正式名字：毛毛虫剖分

通解

考虑我们重链剖分拍出的 dfn 序，它满足两个条件：

• 每条重链上的所有点编号是连续的

• 子树内的所有点编号是连续段

发现 [子树] 这个信息在操作并不重要，我们尝试将其改为：

• 每条重链上的所有点编号是连续的

• 每条重链上的所有的儿子（除去原本重链上的点）的编号也连续

这看起来是不可能的，考虑退一步，在满足第二条件时，尽量满足条件一。

根据参考资料不难得出一个简单的构造方法：

初始：把树根的重链塞入队列。

循环直到队空

1. 取出队头的重链 \(Z\)

2. 依次给 \(Z\) 上的点编号

3. 依次给 \(Z\) 上的每个点的儿子编号（已经有的就不给），这些点必然是一条重链的 top（显然不包括 \(Z\) 中的点），将他们加进队列。

美中不足的是，重链 \(Z\) 的 \(top\) 和 \(Z\) 中的其他点可能分离，这个可以分讨解决。

要不，我们再添点限制？

• 每条重链上的所有点编号是连续的

• 每条重链上的所有的儿子（除去原本重链上的点）的编号也连续

• 子树内的所有点编号是连续段

还是考虑尽量满足，这次标号换成递归式：

设现在递归到 x，先给 x 标号
若 x 是所在重链链顶，将 \(Z_{x}\) 的所有轻儿子标号
递归重儿子，然后递归轻儿子

void cov(int x){
	cat[x][0]=p+1;for(auto v:G[x]) if(dep[v]>dep[x]&&(v^son[x])) dfn[v]=++p;
	cat[x][1]=p;if(son[x]) cov(son[x]);
}
void dfs(int x, int rt){
	edp[top[x]=rt]=x;if(!dfn[x]) dfn[x]=++p;if(x==top[x]) cov(x);sub[x][0]=p+1;
	if(son[x]) dfs(son[x], rt);for(auto v:G[x]) if(!top[v]) dfs(v, v);sub[x][1]=p;
}

这样子能做到

1. 一条重链为 \([dfn_{rt}, dfn_{rt}]\) and \([dfn_{son_{rt}}, dfn_{edp_{rt}}]\) 且 rt 的 dfn 序最小
2. \([sub_{x, 0}, sub_{x, 1}]]\) 为子树中恰好除去了根重链所在毛毛虫脚的部分
3. 一条重链部分 \((x, y)\) 的毛毛虫脚部分为 \([cat_{x, 0}, cat_{y, 1}]\)

例题：

NOI2021 轻重边，直接去看参考资料（

2022.09.14 SS 集训 T3 洛可可天使

每个点维护到父亲的边的边权的期望值，每次操作其实就是 \(1-x\) 路径上的点权 \(\times (1-p_i)+p_i\times c_i\)（有 \((1-p_i)\) 的概率不变，剩下有 \(p_i\) 的概率变为 \(c_i\)），以及这条链所有的旁系儿子点权 \(\times (1-p_i)\)。

考虑按照上面的做法拍成 dfs 序，直接暴力线段树即可。

注意向上跳的过程中，即将跳的上面的链的底部重儿子是不会被算入旁系儿子的，要单独乘一次，我当前链的顶部可能会在上面被当成旁系儿子，所以记得乘加的时候跳过这个点（裂开成两个区间）。

复杂度 \(O(m\log^2n)\)

P8479 「GLR-R3」谷雨

参考资料：

https://www.luogu.com.cn/blog/cyh-toby/solution-p7735

https://www.cnblogs.com/A-Quark/p/16435243.html

你发现了，其实是复读一遍参考资料