拓扑相关的封闭曲面的空间划分问题

例图：亏格为2的闭合体

1.问题

今天群里有位朋友(⊙pen∫ource(OS))讨论到封闭面的空间划分的问题
原始问题：“我想要找一个数据结构能反映封闭面(下文以BF表示)
上三角面片周围一定矩形范围的其他三角面片的集合”
OS起初的办法是通过对这个BF进行空间划分，然后根据定位点搜索附近三角形即可解决问题。
其实，如果仅仅是为了解决OS提的问题，甚至可以不用空间划分，而只需
要在构造曲面的时候，让每个三角形保存一下邻接三角形列表即可。

但我们更希望通过空间划分的形式来解决这个问题，这样的办法的使用场
合应该会更加广。

2.假设

使用空间划分的方法是有前提的，
第一个问题是:
这个BF是怎么定义的？是怎么表示的？
第二个问题是:
还有它的拓扑是怎样的？(封闭面在拓扑上的分类主要是按照它的
亏格进行的，亏格是指BF上孔的个数，譬如球的亏格为0，而环的
亏格为1，而类似手扣那样的BF的亏格则为2....),BF的顶点数、边数和三角
形数分别为V 、E 和F ,其亏格(Genus)G 可定义如下:
G = ( E−F−V + 2) / 2 .

对于第一个问题，如果该BF是没有规律地定义的，是用离散方式来组织的，那空间划分就只能用普通的空间分方法了。

二，如果该BF的表示是有规律的，譬如通过B样条曲面的方式来表示的，那它
的空间划分马上变得有趣了：
这时候我脑子里迸出了个问题，对于不同亏格的曲面，我们使用什么方式来组
织它，让它更加容易进行空间划分呢？

3.讨论

我们知道，拓扑学上亏格的定义是曲面上孔的个数，或者说，是切多少刀
才能把曲面完全分成不带孔的部分的刀数-1（要注意的是，这里的
“刀”，其实是指沿着曲面上一条封闭的曲线）。而现在，切多少刀的问题就能
描述我们面临的空间划分的问题了。

对于亏格为0的BF，显然可以通过经纬球来描述了，而空间划分可以使用球形四叉树那样的方法。
对于亏格为1的BF，譬如环，也可以使用经纬（uv）来描述，但这时候我们需
要切两刀才能完全把它分成不带孔的两部分，而切成的两部分，其拓扑其实是
跟平面一样的了。因此，环的建模可以简单地通过两个经过变换的平面来表示。
不过，环还是属于解析曲面，这样的曲面，完全可以通过解析性的方程描述。
或者，类似现在的建模软件(MAYA)那样，使用NURBES完全描述。

而对于亏格为2的BF，譬如手扣那样的曲面，就需要切三刀才能把它完全分成两部分。

 而分割后的结果是，四个跟平面拓扑一样（与平面同胚）的曲面。这
也容易使用UV的方式来描述。因此对于这类BF，开始可以先切三刀划分为四
部分，接下来便可以使用一般的平面分割方式来划分了。