prim算法基础详解（无向赋权图的最小生成树MST）

带权图分为有向和无向，无向图的最短路径又叫做最小生成树，有prime算法和kruskal算法

生成树的概念：联通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树 生成树是联通图的极小连通子图。

所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之变成非连通图。生成树各边的权值总和称为生成树的权。

权最小的生成树称为最小生成树，常用的算法有prime算法和kruskal算法。这里仅介绍prime算法..

算法描述如下：

1.将所有的结点分成两个集合。一部分是在最小生成树中的点（记为集合A），另一部分是不在最小生成树中的点（即待加入的点，记为集合B）。

2.开始的时候取任意一个点v作为顶点加入最小生成树中（A），然后遍历集合B，选取一个点vj使得（v，vj）的权值最小，然后将vj加入A集合，B集合中删去vj（删去操作可以用一个intree[i]数组来进行操作）

3.重复2步骤直到所有点遍历完毕。

注意：这里说的重复步骤2是指每次找的与顶点v的边权值最小的结点！

结合例子来看一下。（如下图）

选择1为初始结点，intree[1]标记为1.

遍历剩下的6个结点，找到（1，vj）中weight最小的那一个，显然是3，让3加入集合A，即intree[3]标记为1 

然后注意此时集合A中有了两个元素（结点1和结点3）开始的时候我认为是从3开始遍历找3与其他点的最小权值，但是再次注意我们每次只找与顶点（这里就1结点）边权值最小的点。

3结点入队后，1就可以与5结点间接相连了，所以每次在A中加入一个结点，都要更新顶结点与其他结点的关联与否以及权值。

这一点非常重要是算法的重要步骤。

正如此时（1,5） = 8  （1,4） = 5 （1,2） = 6 ，显然下一次应该加入A集合的是点4，所以：

接下来就是：

附上代码及测试样例。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define maxn 10
#define INF  100000
int node;
int G[maxn + 1][maxn + 1];/*构建的图,必须是一个无向连通赋权图,G[i][j]存取权值*/ 
int intree[maxn];/*结点i在最小生成树中*/ 
int minweight[maxn];/*到i点的最小权重*/ 
int sumweight;

void initialize()
{
	memset(intree,0,sizeof(intree));
	memset(minweight,0,sizeof(minweight));
	for(int i = 0 ; i <= maxn ; i++)
		for(int j = 0 ; j <= maxn ; j++)
			G[i][j] = INF;
	sumweight = 0;
}
void prime(int n)
{
	int node,Minweight;
	
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
		minweight[i] = G[1][i];
	/*先把1结点放进最小生成树，那么要知道1到其余结点的最小权重*/
	intree[1] = 1;/*1点进入集合A,最小生成树集*/ 
	for(int i = 2 ; i <= n ; i++)
	/*一共n个点，已经把1加入最小生成树，那么还剩下n-1个点*/ 
	{
		Minweight = INF;
		for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
		{
			if(minweight[j] < Minweight && !intree[j])
			{
				Minweight = minweight[j];
				node = j;
			}
		}
		printf("选择的结点标号为：%d\n",node); 
		intree[node] = 1;
		sumweight += Minweight;
		/*每次在A中加入新的点，更新顶结点到各节点的权重*/ 
		for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
			if(!intree[j] && minweight[j] > G[node][j])
			/*更新B集合*/ 
				minweight[j] = G[node][j]; 
	}
}
int main()
{
	int Node,Edge;
	int vertex1,vertex2,weight;
	
	initialize();
	scanf("%d%d",&Node,&Edge);
	for(int i = 1 ; i <= Edge ; i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&vertex1,&vertex2,&weight);
		G[vertex1][vertex2] = weight;
		G[vertex2][vertex1] = weight;
	}
	prime(Node);
	printf("%d\n",sumweight);
	return 0;
}
/*
7 9
1 2 6
1 3 2
1 4 5
2 5 2
2 7 4
3 5 8
4 6 7
4 7 5
5 6 10
答案是25 
*/