有重复的组合计数 By ACReaper

我们都知道没有重复的组合，其计算方法本质上就在有n个元素的集合中选则r个元素的子集个数，所以可以推出其计算公式为C(n,r)

至于它的公式推导，可以这样看，我们可以先选出这些子集后，对这些r个元素的集合，进行没有重复的排列也就是p(r,r).则从n个元素

的集合中无重复的进行r排列，即p(n,r) = p(r,r) * C(n,r)，而p(n,r)的公式我们推导过了，所以可以很方便的推算出C(n,r)。有了这些最基本

的知识，我下面介绍有重复的组合。

假设我们有三种水果，苹果，梨，香蕉若干放在一个碗中，现在我们要拿出四个水果，问有几种拿出的类型，我们只关注类型的个数，如:(苹果:3个，香蕉:1个，梨:0个)，但是不考虑先后拿，问有几种方式。

对于这个问题，我们可以这样看，我们把它抽象为数学本质，其实就是从{苹果，梨，香蕉}这三元素的集合中选出4个可以重复的组合(这里指的重复是指水果)。

我们用两块竖线就可以表示三个区域，这三个区域就分别代表苹果，梨，香蕉，接着就是要把4个水果分别放入三个区域，我们此时把4个水果也看成竖线，则一共有7根竖线，

现在问题就简单了，我们只需要在这7根竖线中选择4根转化为水果，这就可以把他们的类型区分开了，所以一共有C(6,4) = C(6,2) = 15种。

于是我们可以总结出重复组合的计数定理：

假设有一个集合T，有n个元素，重中选择元素组合成r可重复排列，则它的个数是C(n - 1 + r,r) = C(n + r - 1,r) = C(n + r - 1,n - 1);

证明方法：就是用组合的方式证明，打字太幸苦，这里就不再证明了。

2013 04 23 

By ACReaper