HDU 4336 Card Collector

题意:

     在每包小当家方便面里面，可能有一张卡片，也可能没有。已知有总共有n张卡片，第i张的卡片出现的可能是pi。 问收集齐所有的卡片需要吃方便面数的期望是多少。

 

 

 

先来讲一下期望这个东西。

E的原始定义是E=p1*x1+p2*x2+... pi表示买xi包面能集齐所有卡片的概率。从实际上说，买n*E包方便面（n非常大），极大可能得到n套卡片。

从理论上说，在理想的情况下，买E包方便面，必然得到1套卡片。

 

先把问题简化一下，只有一张卡片，其发生的概率是p,集齐这张卡片需要吃方便面的期望是E.

 则 E=p*1+(1-p)*(1+E).

虽然把这个公式化简成Ep=1比较好理解，但是要写出多张卡片，就必须先理解 E=p*1+(1-p)*(1+E).

那么定义p为只买了一张卡片，就集齐一套卡片。则（1-p）为买了多张卡片（第一张失败）就集齐一套卡片。这两个事件是对立的。

那么对于买了多张卡片集齐一套卡片中多张卡片是几张呢，（1+E）, 理论上说是必然。

 

对于两张卡片，设(00)表示还未集齐所有卡片到集齐所有卡片(11)需要购买方便面的期望是E(00)。

                     （10）表示已经集齐第一张卡片，到集齐所有卡片（11）需要构面方便面的期望是E(00)

　　　　E(00)=p1*(1+E(10））                                   //买了第一包面摸到了第1张卡片，概率是p1,接下来还需要E(10)包方便面

　　　　　　　+p2*（1+E(01)）　                                //买了第一包面摸到了第2张卡片，概率是p1,接下来还需要E(01)包方便面

                    +（1-p1-p2）（1+E(00)）                      ////买了第一包面,里面什么也没有，概率是1-p1-p2,接下来还需要E(00)包方便面

 

            E(01)=p1*(1+E(11)) +(1-p1-p2) *(1+E(01))

　　　　 E(10)=p2*(1+E(11))+(1-p1-p2)*(1+E(10))

　　　　E(11)=0  //已经集齐了，当然只要买0包方便面就行了。

 

所以对于n张卡片。 x 是一个二进制数

　　E(x)=∑（pi*(1+E(y)）+(1-∑pi)*(1+E(x))      i表示x的第i位等于0.y表示讲x的第i位从0变成1以后的二进制数。

　　  解一下方程 E(x)=(1+∑(pi*E(y)))/(∑pi)

                 这就是概率动态规划的状态转移方程了。

                E(1111111..n个1)=0  ,临界状态。

　　 　　　 E(00000...n个0) =？  目标状态。

 

这里是非递归写法，从111..循环减1。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
double f[2000000];
int main()
{
    int i,j,m,n;
    double p[100];
    while (scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for (i=1; i<=n; i++)
            scanf("%lf",&p[i]);
        int s=0;
        for (i=0; i<n; i++)
            s=s*2+1;
        f[s]=0;
        for (i=s-1; i>=0; i--)
        {
            m=i;
            double fenmu=0,fenzi=0;
            for (j=0; j<n; j++)
            {
                if (m%2==0)
                {
                    fenmu+=p[n-j];
                    fenzi+=(p[n-j]*f[i+(1<<(j))]);
                }
                m/=2;
            }
            f[i]=(1.0+fenzi)/fenmu;

        }
        printf("%lf\n",f[0]);
    }
    return 0;
}