二叉搜索树的顺序性

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二叉搜索树的顺序性

   

   

二叉搜索树具有一定的顺序性，即 使用二叉搜索树可以回答很多

元素之间的和顺序相关的问题，如下：

   

   

（1）minimum 和 maximum

   

通过二叉搜索树可以非常容易地找到一组数据中最小的元素 minimum

和最大的元素 maximum

   

   

   

   

   

（2）predecessor 和 successor

   

通过二叉搜索树可以非常容易地找到一个元素的前驱 predecessor

和后继 successor

   

   

   

   

   

（3）floor 和 ceil

   

通过二叉搜索树还可以找到一个元素的 floor 相应的值

和 ceil 相应的值

   

floor 和 ceil 与 predecessor 和 successor 的最大的一个区别就是：

要想找到一个元素的前驱和后继，首先要保证这个元素真的存在

   

   

如果要找一个元素的 floor 和 ceil：

   

1）如果该元素存在，那么该元素的 floor 和 ceil 就是该元素本身

   

2）如果该元素不存在，那么该元素的 floor 和 ceil 也是存在的，

分别是最后一个比该元素小的值和第一个比该元素大的值，即 最

接近的两个值。当然，也有可能该元素并没有 floor 或 ceil

   

   

   

   

   

（4）rank 和 select

   

通过二叉搜索树还可以找到一个元素的排名 rank

和找到某排名（如：第 100 名）的元素 select

   

   

但遗憾的是一般的二叉搜索树并不能回答这两个问题，可做如下改动：

   

对二叉搜索树的每一个节点多添加一个属性（域），该属性用于存储

以当前节点为根的二叉搜索树一共有几个节点

   

   

   

之后就可以利用二叉搜索树的性质：每个节点的键值都大于左孩子

和 每个节点的键值都小于右孩子，来实现 rank 和 select

   

注意：在给节点 Node 添加新属性后，编写 rank 和 select 这两个

函数并不难，难的是要在之前实现的 insert 和 remove 这两个函数

中同时维护新属性，使得当用户调用 rank 和 select 这两个函数时，

能够得到正确的结果

   

   

   

   

   

另外：

   

一般的二叉搜索树，是不支持整棵树中存在重复元素的，但在

有些情况下，需要二叉搜索树支持重复元素，该怎么做呢？

   

一个最简单的方法，就是直接让这棵树可以存在重复元素，即

把一个节点的左孩子，定义成是小于等于这个节点的元素，右

孩子是大于这个节点的元素

   

不过当存在大量重复元素时，这样做不够节省空间

   

   

   

为此，依然可以通过更改节点 Node 的结构来解决，具体如下：

   

对二叉搜索树的每一个节点多添加一个属性 count，该属性用于存储

当前节点所代表的元素在二叉搜索树中的个数

   

   

   

此时，构建出这样一棵二叉搜索树很容易，不过当每个节点都多出一个

count 属性后，相应的 insert 和 remove，以及 rank 和 select 等等都

要发生改变，以维护 count 属性

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

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