Codeforces 939E - Maximize!

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本题是一个序列上的问题。

一个序列S，初始时为空。依次给出Q个指令：

①将元素x加入S，保证x≥max(S)；

②查询：max{max(T)-avg(T)|T⊆S}。

设在某一次查询时，S={a_i|i=1,2,...,n}，则a₁≤a₂≤...≤a_n。

定义$sum(k)=\sum_{i=1}^k a_i$，则a_k=sum(k)-sum(k-1)。

设此时的查询值为ans。将x加入S，则对于所求的集合T，有以下两种情形：

①x不是T中的元素，则值为ans；

②x是T中的元素，则：max(T)=x；T中的其余元素应当尽可能小，于是T={a₁,a₂,...,a_k,x}，其中1≤k≤n；于是，$avg(T)=\frac{sum(k)+x}{k+1}$。记$\frac{sum(k)+x}{k+1}=f(k)$，则本问题转换为求解min{f(k)|1≤k≤n}。对于离散型函数，计算其差分：$\Delta f(k)=f(k+1)-f(k)=\frac{a_{k+1}-f(k)}{k+2}$。于是，当Δf(k-1)≤0且Δf(k)≥0时，函数取得极小值，为f(k)。

函数极值问题可以通过二分法求解，每一次求解的时间复杂度为O(logn)。

于是，值为x-f(k)。若这个值大于ans，则更新ans。

参考程序如下：

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#define MAX_N 500005

int64_t sum[MAX_N];

int main(void)
{
    int q;
    scanf("%d", &q);
    int cnt = 0;
    double ans = 0;
    while (q--) {
        int op;
        scanf("%d", &op);
        if (op == 1) {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            int low = 0, high = cnt;
            while (low < high) {
                int mid = (low + high) / 2;
                int a = sum[mid + 1] - sum[mid];
                double df = a - 1. * (sum[mid] + x) / (mid + 1);
                if (df > 0) high = mid;
                else low = mid + 1;
            }
            double avg = 1. * (sum[high] + x) / (high + 1);
            double tmp = 1. * x - avg;
            if (tmp > ans) ans = tmp;
            cnt++;
            sum[cnt] = sum[cnt - 1] + x;
        }
        else printf("%.10f\n", ans);
    }
    return 0;
}