Codeforces 918D/917B - MADMAX

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本题是一个组合游戏问题——DAG上的动态规划问题。

有一张有向无环图（DAG）。有两个玩家在这张图上进行一个游戏：初始时，玩家A、B各占据一个结点，之后轮流沿着有向边移动；移动时的边权是不下降的。无法移动者输。

请打印一个n×n矩阵，这个矩阵的元代表获胜方（A/B），其i行j列元的含义如下：玩家A的初始位置为结点i，玩家B的初始位置为结点j。

对于DAG上的组合游戏，可以考虑DP。

定义布尔变量dp(u,v,c)，代表当先手的初始位置为结点u，后手的初始位置为结点v，且上一次移动的边权为c时，先手是否能移动。则：

若存在有向边<u,x>，使得c≤cost<u,x>，且dp(v,x,cost<u,x>)=0，于是，一旦先手到达结点x后，后手将无法移动：于是先手必胜，即dp(u,v,c)=1；否则先手必败，即dp(u,v,c)=0。

参考程序如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 101
#define MAX_C 26

int n, m;
int adj[MAX_N][MAX_N];
int dp[MAX_N][MAX_N][MAX_C];

int dfs(int u, int v, int c)
{
    if (dp[u][v][c] != -1) return dp[u][v][c];
    for (int x = 1; x <= n; x++) {
        if (adj[u][x] >= c && !dfs(v, x, adj[u][x]))
            return dp[u][v][c] = 1;
    }
    return dp[u][v][c] = 0;
}

int main(void)
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(adj, -1, sizeof(adj));
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    while (m--) {
        int u, v;
        char ch;
        scanf("%d%d %c", &u, &v, &ch);
        adj[u][v] = ch - 'a';
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (dfs(i, j, 0)) putchar('A');
            else putchar('B');
        }
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}