Codeforces Hello 2018 C - Party Lemonade

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有n类物品，第i(i=0,1,2,...,n-1)类物品的价值为2ⁱ，花费为c_i。任意选择物品，使得总价值至少为L。求此时的总花费的最小值。（n≤30，L≤10⁹，c_i≤10⁹）

这是一个完全背包问题，但是鉴于数据规模，常规的DP是不可取的（TLE+MLE）。

首先考虑到的是递归地搜索答案。对于当前状态(cur,k)，对价值cur做一个简单的划分：商q=cur/v_i，余数r=cur%v_i。商作为不可继续划分的部分计算花费：qcost=q*v_i*c_i，对余数继续搜索rcost，状态为(r,i)。对于当前状态，枚举i=k,k-1,...,0，找到最小的qcost+rcost，作为当前状态的返回值。这个做法一定可以得到正确的答案，但是，如此会TLE。

接下来考虑这个问题的数据是否可以优化。首先考虑c数组：

首先确定c数组的目标状态。这个目标状态应该满足约束：c_i≤c_i+1≤2c_i。

①c_i+1≥c_i：保证代价c的序列是上升的；

②c_i+1≤2c_i：保证性价比v/c的序列是上升的。

于是对于不满足约束的c_i或c_i+1，则约束之。

①c_i=min(c_i,c_i+1)；

②c_i+1=min(c_i+1,2c_i)。

完成c数组的约束之后，可以简单地求解这个问题了。

在约束后，由于代价序列是上升的，因此应从价值最小的物品开始考虑；

由于性价比序列是上升的，因此每一次花费，应获得价值尽可能高的物品。

于是考虑L的二进制位，设获得第0~i位的物品，对应的总花费为ans(i)。

则当第i位为0时，不获得物品i，价值0，花费0：ans(i)=ans(i-1)；

当第i位为1时，获得物品i，价值v_i，花费c_i：ans(i)=ans(i-1)+c_i；

有一个例外的情况：当获得更高位的物品i+1所花费的c_i+1≤ans(i)时，丢弃0~i位的所有物品，转而获得物品i+1：ans(i)=c_i+1。

于是从低位到高位遍历即可。参考程序如下：

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#define MAX_N 31

const int64_t inf = (int64_t)1e18;
int64_t c[MAX_N], v[MAX_N];
int64_t minc[MAX_N];

int64_t min(int64_t a, int64_t b)
{
    return a < b? a: b;
}

int main(void)
{
    int n, l;
    scanf("%d%d", &n, &l);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &c[i]);
        if (i) c[i] = min(c[i], 2LL * c[i - 1]);
        if (i) c[i - 1] = min(c[i - 1], c[i]);
        v[i] = 1 << i;
    }
    for (int i = n; i < MAX_N; i++)
        c[i] = 2LL * c[i - 1];
    int64_t ans = 0LL;
    for (int i = 0; i < MAX_N - 1; i++) {
        int p = 1 << i;
        if (l & p) ans += c[i];
        ans = min(ans, c[i + 1]);
    }
    printf("%I64d\n", ans);
    return 0;
}